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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 81

Prove o teorema de Chebyshev quando X for uma

variável aleatória discreta.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Afirmação: A probabilidade de que qualquer variável aleatória X assuma um valor dentro k dos desvios padrão da média é pelo menos 1 - 1 k 2 . Isto é

P ( μ - k σ < X < μ - k σ ) ≥ 1 - 1 k 2 . 

Para uma variável aleatória contínua X , , por definição, temos,

σ 2   = E ( X - E ( X ) ) 2   = E ( X - μ ) 2   = ∫ - ∞ ∞     ( x - μ ) 2 f ( x ) d x ,    where  f ( x )  is pdf of  X .   = ∫ - ∞ μ - k σ     ( x - μ ) 2 f ( x ) d x + ∫ μ - k σ μ + k σ     ( x - μ ) 2 f ( x ) d x + ∫ μ - k σ ∞     ( x - μ ) 2 f ( x ) d x   ≥ ∫ - ∞ μ - k σ     ( x - μ ) 2 f ( x ) d x + ∫ μ - k σ ∞     ( x - μ ) 2 f ( x ) d x

Passo 2

Para a primeira integral, x ≤ μ - k σ ⇒ μ - x ≤ k σ . E para a segunda integral, x ≤ μ + k σ ⇒ x - μ ≤ k σ .

σ 2   ≤ k 2 σ 2 ∫ - ∞ μ - k σ     f ( x ) d x + ∫ μ - k σ ∞     f ( x ) d x   = k 2 σ 2 [ P ( - ∞ < X ≥ μ - k σ ) + P ( μ + k σ ≥ X < ∞ ) ]   = k 2 σ 2 [ P ( X - μ ≥ - k σ ) + P ( X - μ < k σ ) ]   = k 2 σ 2 [ P ( | X - μ | ≥ k σ ) ] ⇒ [ P ( | X - μ | ≥ k σ ) ] ≥ 1 k 2

Passo 3

Também desde

P [ | X - μ | ≥ k σ ]   + P [ | X - μ | < k σ ] = 1 , we get,  P [ | X - μ | < k σ ]   = 1 - P [ | X - μ | ≥ k σ ]   ≥ 1 - 1 k 2

Daí a prova.

Resposta

Resposta nos passos.

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