A variável aleatória X tem média μ = 12 , variância σ 2 = 9 e distribuição de probabilidade desconhecida. Usando o teorema de Chebyshev, estime

(a) P ( 6 < X < 18 ) ;

(b) P ( 3 < X < 21 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. O teorema de Chebyshev é definido pela fórmula abaixo:

P μ - k σ < X < μ + k σ ≥ 1 - 1 k 2

Onde, o enunciado nos deu que a média é μ = 12 e a variância é σ 2 = 9 . Logo, o desvio-padrão é dado por σ = 9 = 3 .

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

O valor de k pode ser encontrado a partir da seguinte equação μ + k σ = 18 , o que nos resulta que k = 2 . Logo, a probabilidade é:

P 12 - 2 3 < X < 12 + 2 3 ≥ 1 - 1 2 2

P 6 < X < 18 ≥ 1 4

Portanto, estimamos a primeira probabilidade.

Passo 3

De forma similar a letra (a), o valor de k pode ser encontrado por μ + k σ = 21 , nos mostrando que k = 3 . Sendo assim, a probabilidade solicitada é:

P 12 - 3 3 < x < 12 + 3 3 ≥ 1 - 1 3 2

P 3 < X < 21 ≥ 1 9

Por fim, estimamos a última probabilidade.

Resposta

(a) P 6 < X < 18 ≥ 1 4  

(b) P 3 < X < 21 ≥ 1 9

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