Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 31
Se 8 quadros-negros idênticos forem divididos entre quatro escolas, quantas divisões
são possíveis? E se cada escola tiver que receber pelo menos um quadro-negro?
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos aprender a dividir as coisas com os coleguinhas.
Aqui temos 8 quadros negros, e vamos distribui-los entre quatro escolas. Com certas restrições.
Vamos pensar que o número da quantidade de quadros recebido por cada escola é definido pelas variáveis uma para cada escola. Note que se todos os quadros forem distribuídos a soma .
Então para encontrarmos quantas formas temos de fazer isto basta calcularmos o numero de soluções não negativas desta equação.
Passo 2
Assim como mostra a alegoria do livro podemos pensar que cada variável é um espaço entre barrinhas e que temos bolinhas para colocar entre estes espaços. Por exemplo a solução , ,, seria representado por:
E todas as outras soluções são permutações desta representação. Vamos utilizar a formula de permutação com repetição:
Passo 3
Agora para cada escola receber ao menos 1 quadro, significa na pratica que nós temos apenas 4 quadros para distribuir arbitrariamente entre as 4 escolas.
Analogamente ao raciocínio anterior a equação seria:
E a permutação seria:
Resposta
formas onde pode haver escolas sem quadro;
E formas onde cada uma tem ao menos um quadro.