Enunciado
Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 13
Suponha que de objetos, sejam escolhidos ao acaso, com reposição. Qual será a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido mais do que uma vez? (Admita ).
Passo 1
Para resolver problemas assim eu acho que a melhor forma é primeiro fazer um caso mais simples com e .
Repare que o primeiro objeto que a gente sorteia não importa muito. Assim, a probabilidade referente ao primeiro objeto sorteado é
Ai nós colocamos o objeto de volta na caixa. Daí, para o segundo objeto temos que achar a probabilidade de retirar um novo objeto que seja diferente do primeiro. Com isso, temos possibilidades entre os 10 objetos disponíveis:
Daí, devolvemos o objeto e partimos para o terceiro e último sorteio. Agora temos opções entre os 10 objetos disponíveis:
Daí, basta multiplicar as probabilidades:
Passo 2
Agora vamos olhar para o caso geral com um e qualquer. Vamos realizar ao todo sorteios. No primeiro, tanto faz o objeto que tiramos:
Para o segundo sorteio, temos objetos dentro da caixa, mas só objetos interessam pois não podemos sortear o objeto do primeiro sorteio novamente:
Para o terceiro sorteio, teremos
Já para o quarto:
Acho que é fácil perceber que para o -ésimo sorteio temos
Multiplicando todas as probabilidades temos que
Ou ainda,