Enunciado
Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 4
Um caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. As válvulas são verificadas extraindo-se uma válvula ao acaso, ensaiando-a e repetindo-se o procedimento até que todas as 4 válvulas defeituosas sejam encontradas. Qual será a probabilidade de que a quarta válvula defeituosa seja encontrada:
a) No quinto ensaio?
b) No décimo ensaio?
Passo 1
Temos uma caixa que contém 4 peças defeituosas e 6 perfeitas, de modo que ao todo temos 10 peças.
Vamos calcular primeiro todas as formas de ordenar as 10 peças. Para isso, basta fazer uma permutação de 10 termos com 4 e 6 repetições:
Lembre-se que em permutações com repetição nós devemos colocar o número de repetições no denominador...
Passo 2
No item (a) queremos que a quarta peça defeituosa seja sorteada no quinto ensaio. Para que isso ocorra, nos 4 primeiros ensaios devemos ter tirado 3 peças defeituosas e 1 perfeita. As combinações possíveis nesses quatro primeiros ensaios são
Poderíamos ter feito essa conta pensando numa permutação com 4 termos e 3 repetições:
Com isso, temos 4 possíveis formas de obter exatamente 3 peças defeituosas nos quatro primeiros ensaios. Além disso, como a última peça defeituosa deve sair no quinto ensaio e nos demais ensaios só teremos peças perfeitas, o total de formas em que tudo isso ocorrer será exatamente 4:
_ _ _ _ (D) P P P P P
São as 4 possíveis permutações nos quatro primeiros ensaios que determinam o total de casos. Assim, a probabilidade será
Passo 3
No item (b) nós queremos que a última peça defeituosa seja escolhida no último sorteio, de modo que nos 9 primeiros ensaios nós devemos ter exatamente 6 peças perfeitas e 3 defeituosas. Para calcular a quantidade de ordens em que isso pode ocorrer basta fazer uma permutação com 9 termos, com 6 e 3 repetições:
Assim, a probabilidade será