Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são ensaiadas, uma a uma, até que ambas as defeituosas sejam encontradas.

a) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio?

b) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no terceiro ensaio?

c) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no quarto ensaio?

d) Some os números obtidos em (a), (b) e (c) acima. O resultando é surpreendente?

Passo 1

Nesse problema temos duas válvulas defeituosas e duas perfeitas. Vamos chamar as perfeitas de P e as defeituosas de D . Com isso, podemos ordenar a ordem dos ensaios por

P P D D

P D P D

P D D P

D D P P

D P D P

D P P D

Essas são todas as seis possibilidades.

Passo 2

No item (a) queremos as situações em que a segunda válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio. Para que isso ocorra, as duas válvulas defeituosas devem ser sorteadas nos dois primeiros ensaios, o que só ocorre em um caso ( D D P P ):

P a = 1 6

Já no item (b), a segunda válvula com defeito deve ser encontrada no segundo ensaio, o que ocorre de duas formas ( P D D P e D P D P ):

P b = 2 6 = 1 3

Por fim, no item (c), queremos o caso em que a segunda válvula defeituosa seja a última sorteada, o que acontece de três formas distintas ( P P D D , P D P D e D P P D ). Logo,

P c = 3 6 = 1 2

Passo 3

Somando as três probabilidades:

P a + P b + P c = 1 6 + 1 3 + 1 2 = 1

Como esperado, a soma das probabilidades dá um!

Resposta

P a = 1 6

P b = 1 3

P c = 1 2

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