Quantas pessoas têm de estar em uma sala para que a probabilidade de que pelo menos duas delas celebrem aniversário no mesmo mês seja igual a 1/2? Suponha que todos os possíveis resultados mensais sejam igualmente prováveis

Passo 1

Essa aqui tem um exemplo resolvido lá no livro que ajuda bastante a gente, zero estresse. Só tomar cuidado pra não achar que é o mesmo problema. Aqui, é no mesmo mês, lá ele resolve para o aniversário ser no mesmo dia do ano. Mas é bem análogo, então, sem enrolação:

Se tem n pessoas na sala e temos 12 meses do ano o total de casos é 12.12.12.12 … . = 12 n

O lance aqui vai ser o seguinte. Ao invés de calcularmos a probabilidade de que 2 pessoas façam aniversário no mesmo mês, vamos calcular a probabilidade de que ninguém faça aniversário no mesmo mês.

Mas pq? Por que esse cálculo é muito mais fácil. E perceba que ele é excludente com a probabilidade de que ao menos duas pessoas façam aniversário no mesmo mês.

Portanto, a soma da probabilidade dos dois tem que dar 100%. Tipo, se a probabilidade de que ninguém faça aniversário no mesmo mês for de 70%, então a probabilidade de que alguém faça aniversário no mesmo mês é de 30%.

Como queremos encontrar o número “n” de pessoas para que a probabilidade de que ao menos 2 pessoas façam aniversário no mesmo mês seja maior que 50%, vamos encontrar esse “n” para que a probabilidade de que ninguém faça aniversário no mesmo mês seja menor que 50%.

Passo 2

Para calcular a nossa probabilidade, precisamos do número de casos possíveis e o número de casos favoráveis. Já calculamos o número de casos possíveis ( 12 n )

Encontrar o número de casos favoráveis também é tranquilo, para isso pensamos no seguinte, a primeira pessoa dessa sala tem 12 meses de opção para o aniversário. A segunda pessoa tem que fazer aniversário em um mês diferente da primeira, então ela tem 11 meses. A terceira pessoa só vai ter 10 meses disponíveis para ela fazer aniversário, e por aí vai...

12.11.10 … ( 13 - n )

Passo 3

Agora é só escrever a probabilidade:

P = 12.11.10 … ( 13 - n ) 12 n

Essa expressão fica menor que 1 2 quando n é 5.

Resposta

n = 5

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