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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 21

A quantidade diária de café, em litros, dispensada

por uma máquina localizada no saguão de um aeroporto

é a variável aleatória X, que tem uma distribuição uniforme contínua com A = 7 e B = 10. Encontre a probabilidade de que, em certo dia, a quantidade de café

dispensada pela máquina será

(a) no máximo de 8,8 litros;

(b) mais de 7,4 litros, mas menos de 9,5 litros;

(c) pelo menos de 8,5 litros.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado

A = 7 ,   B = 10 . 

A função de densidade apropriada para a variável aleatória uniformemente X distribuída nesta situação é:

f ( x ) = 1 B - A ; A ≤ x ≤ B 0 ,   restante  

A função Densidade de probabilidade para a distribuição uniforme é dada por,

f ( x )   = 1 B - A ; A ≤ x ≤ B   = 1 10 - 7   = 1 3 ;   7 ≤ x ≤ 10

Portanto, a função densidade de probabilidade de X é,

f ( x ) = 1 3 , 7 ≤ x ≤ 10 0 ,   restante  

Passo 2

(a) Encontre a probabilidade de que em um determinado dia a quantidade de café dispensada por esta máquina seja no máximo de 8.8 litros.

Isto é

P ( X ≤ 8.8 )   = ∫ 7 8.8     f ( x ) d x   = ∫ 7 8.8     1 3 d x   = 1 3 ∫ 7 8.8     1 d x   = 1 3 [ x ] 7 8.8   = 1 3 ( 8.8 - 7 )   = 1 3 ( 1.8 )   = 0.6

Passo 3

(b) Encontre a probabilidade de que, em um determinado dia, a quantidade de café dispensada por esta máquina seja maior que 7.4 litros, mas menor que 9.5 litros.

P ( 7.4 ≤ X ≤ 9.5 )   = ∫ 7.4 9.5     f ( x ) d x   = ∫ 7.4 9.5     1 3 d x   = 1 3 [ x ] 7.4 9.5 = 1 3 ( 9.5 - 7.4 ) = 1 3 ( 2.1 ) = 0.7

Passo 4

(c) A probabilidade de que em um determinado dia a quantidade de café dispensada por esta máquina será de pelo menos 8.5 litros é dada por,

P ( X ≥ 8.5 ) = ∫ 8.5 10     f ( x ) d x   = ∫ 8.5 10     1 3 d x   = 1 3 ∫ 8.5 10     1 d x   = 1 3 [ x ] 8.5 10   = 1 3 ( 10 - 8.5 )   = 0.5

Resposta

a) 0.6

b) 0.7

c) 0.5

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