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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 1

Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara três vezes mais frequentemente que coroa. Essa moeda é jogada três vezes. Seja X o número de caras que aparece. Estabeleça a distribuição de probabilidade de X e também a fd. Faça um esboço do gráfico de ambas.

Passo 1

Vamos lançar uma moeda 3 vezes. A probabilidade de sair cara em um lançamento é p = 3 / 4 e a de sair coroa é 1 - p = 1 / 4 . Sabemos isso pois o enunciado disse que sai cara com uma frequência três vezes maior do que sai coroa...

Trata-se de um claro exemplo de distribuição binomial com n = 3 e p = 3 / 4 . A distribuição de probabilidades para que saiam k caras e n - k coroas é:

P k = n k   p k   1 - p n - k

Logo,

P k = 3 k   3 4 k   1 4 3 - k

PS: a distribuição binomial sempre aparece quanto temos um evento binário (que pode dar sucesso ou fracasso) que se repete algumas vezes. A distribuição dá a probabilidade de haver k sucessos em n tentativas.

Passo 2

Para que não haja nenhuma cara ( k = 0 ):

P k = 0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 4 3 → P k = 0 = 1 64

Para haver exatamente uma cara ( k = 1 ):

P k = 1 = 3 ⋅ 3 4 ⋅ 1 4 2 → P k = 1 = 9 64

Já para duas caras ( k = 2 ):

P k = 2 = 3 ⋅ 3 4 2 ⋅ 1 4 → P k = 2 = 27 64

Por fim, para k = 3 :

P k = 3 = 1 ⋅ 3 4 3 ⋅ 1 → P k = 3 = 27 64

Com isso, achamos a seguinte distribuição:

P k = 1 64 ,               k = 0 9 64 ,             k = 1 27 64 ,                 k = 2 27 64 ,                   k = 3

A seguir faço um esboço dessa distribuição discreta:

Passo 3

O exercício também pediu para acharmos a função distribuição acumulada F x . Para isso, basta somar todas as probabilidades correspondentes a valores menores que x .

A ideia é assim: a função F x começa sendo zero. Aí, conforme vamos crescendo na variável x , sempre que passamos por um ponto que tem alguma probabilidade, a função F sofre um salto dessa probabilidade.

Para x < 0 , temos que F x = 0 . Daí, quando passamos por x = 0 a função salta para

F x = 0 + 1 64 = 1 64

Esse valor permanece até chegarmos em x = 1 , quando ela salta para

F x = 1 64 + 9 64 = 10 64

Daí, quando passamos por x = 2 ela salta para

F x = 10 64 + 27 64 = 37 64

E por fim, quando passamos por x = 3 ela salta para

F x = 37 64 + 27 64 = 64 64 = 1

Com isso, a fd fica:

F x = 0 ,               x < 0 1 64 ,               0 ≤ x < 1 10 64 ,               1 ≤ x < 2 37 64 ,               2 ≤ x < 3 1 ,                   x ≥ 3

A seguir temos o gráfico dessa função:

Resposta

P k = 1 64 ,               k = 0 9 64 ,             k = 1 27 64 ,                 k = 2 27 64 ,                   k = 3

F x = 0 ,               x < 0 1 64 ,               0 ≤ x < 1 10 64 ,               1 ≤ x < 2 37 64 ,               2 ≤ x < 3 1 ,                   x ≥ 3

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