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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 21

Na Seçáo 9.3, enfatizamos a noçáo de 'estimador mais eficiente' comparando a variáncia de dois estimadores imparciais, Θ 1 e θ ˆ 2 . Entretanto, isso náo leva em consideraçáo a tendenciosidade no caso de um ou de ambos estimadores serem viciados. Considere a quantidade

E Q M = E ( Θ ˆ - θ ) ,

onde E Q M denota o erro médio quadrado. O E Q M é freqüentemente usado para comparar dois estimadores Θ ˆ 1 e Θ ˆ 2 de θ quando um ou ambos sáo imparciais porque (i) é intuitivamente razoável e (ii) é responsável pela tendenciosidade. Mostre que E Q M pode ser escrito

E Q M   = E [ Θ ˆ - E ( Θ ˆ ) ] 2 + [ E ( Θ ˆ - θ ) ]   = V a r ⁡ ( Θ ˆ ) + [ V i c i o ⁡ ( Θ ˆ ) ] 2 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A partir das informações, considere Θ ˆ 1 e Θ ˆ 2 sejam os dois estimadores imparciais mais eficientes.

Compare as variâncias desses dois estimadores imparciais. Considere que a quantidade é M S E = E ( Θ ˆ - θ ) 2 O MSE é usado para comparar dois estimadores Θ ˆ 1 e Θ ˆ 2 de θ .

Passo 2

Considere M S E = E ( Θ ˆ - θ ) 2

E ( Θ ˆ - θ ) 2   = E ( Θ ˆ - E ( Θ ˆ ) - + E ( Θ ˆ ) - θ - ) 2   (   Somando e subtraindo   E ( Θ ˆ ) )   = E ( Θ ˆ - E ( Θ ˆ ) ) 2 + E ( E ( Θ ˆ ) - θ ) 2 + 2 E ( ( E ( Θ ˆ ) - θ ) ( Θ ˆ - E ( Θ ˆ ) ) )   = E ( Θ ˆ - E ( Θ ˆ ) ) 2 + ( E ( Θ ˆ ) - θ ) 2 E ( E ( Θ ˆ ) - θ ) 2 = ( E ( Θ ˆ ) - θ ) 2   J á  que   E ( c ) 2 = c 2

( Desde ( E ( Θ ˆ ) - θ ) = 0 , o terceiro termo torna-se zero)

  = V ( Θ ˆ ) + ( E ( Θ ˆ ) - θ ) 2   = V ( Θ ˆ ) + [ b i a s ⁡ ( Θ ˆ ) ] 2 [ E ( Θ ˆ ) - θ =   Estimando no Bias   Θ ˆ ]

Daqui E ( Θ ˆ - θ ) 2 = V ( Θ ˆ ) + [  Bias  ] 2

Resposta

Resposta nos passos.

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