Enunciado

Seja X com distribuição dada abaixo; calcule E(X). Considere a v.a. (X – a)² e calcule E(X – a)² para a = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1. Obtenha o gráfico de E(X – a)² = g(a). Para qual valor de a, g(a) é mínimo?

Passo 1

E X = ∑ i = 1 n x i p i = 0   × 1 2 + 1 × 1 4 + 2 × 1 4 = 3 4   ( 1 )

Passo 2

E X 2 = ∑ i = 1 n x i 2 p i = 0 2 × 1 2 + 1 2 × 1 4 + 2 × 1 4 = 5 4   ( 2 )

E X - a 2 = E X 2 - 2 × a × E X + a 2 = a 2 - 3 a 2 + 5 4   ( 3 )

Substituindo os valores de a na equação (3), temos:

Passo 3

Os resultados encontram-se representados no gráfico a seguir, em que se percebe que g(a) é mínimo para a = 0,75.

Resposta

E X = 3 4

g(a) é mínimo para a = 0,75.

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