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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 54

Seja X uma variável aleatória com média μ e variância σ 2 . Dadas duas amostras aleatórias independentes de tamanhos n 1 e n 2 , com médias amostrais X 1 _ = X 2 _ ,   m o s t r e   q u e  

X _ = a X 1 _ + ( 1 - a ) X _ 2 ,   0 < a < 1

é um estimador não tendencioso par μ . Se X _ 1 e X _ 2 , forem independentes, encontre o valor de a que minimiza o erro-padrão de X _ .

Passo 1

Temos os seguinte dados:

A variável aleatória X tem uma média μ e uma variância σ 2 .

Duas amostras aleatórias independentes de tamanho n 1 e n 2 com média de amostra X 1 _ e X 2 _ são escolhidos.

Vamos mostrar que X _ = a X _ 1 + ( 1 - a ) X _ 2 , 0 μ . Em outras palavras, vamos mostrar que E ( X _ ) = μ .

E ( X _ ) = E ( a X _ 1 + ( 1 - a ) X _ 2 ) = a E ( X _ 1 ) + ( 1 - a ) E ( X _ 2 ) = a μ + ( 1 - a ) μ = μ

Passo 2

Conseqüentemente, X _ é um estimador imparcial de μ .

Agora, vamos encontrar o valor de a que minimiza o erro padrão de X _ . Isso significa que temos que minimizar E = ( X _ - μ ) 2 . isso implica ∂ E ∂ μ = 0

∂ ∂ a E = 0

∂ ∂ a ( X _ - μ ) 2 = 0

∂ ∂ a ( a X 1 _ + ( 1 - a ) X 2 _ - μ ) 2 = 0

∂ ∂ a [ ( a X 1 _ ) 2 + [ ( 1 - a ) X 2 _ ] 2 + μ 2 + 2 a ( 1 - a ) X 1 _     X 2 _ - 2 a μ X 1 _ - 2 ( 1 - a ) μ X _ 2 = 0

2 a X 1 _ 2 - 2 X 2 _ 2 ( 1 - a ) + 2 X 1 _     X 2 _ - 4 a X 1 _ X 2 _ - 2 μ X _ 1 + 2 μ X 2 _ = 0

Simplificando, temos:

a = μ - X _ 2 X _ 1 - X _ 2

Resposta

X _ é um estimador imparcial de μ .

a = μ - X _ 2 X _ 1 - X _ 2

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