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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 153

Seja a variável aleatória X uma medida de um produto fabricado. Suponho que o valor alvo para a medida sejam. Por exemplo, X poderia denotar um comprimento dimensional e o alvo poderia ser 10 mm. A perda de qualidade do processo de produção é definida como valor esperado de U S $ k ( X - m ) 2 , em que k é uma constante que relaciona um desvio do alvo à perda medida em dólares.

  1. Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com E ( X ) = m e V ( X ) = σ 2 . Qual é a perda de qualidade do processo?
  2. Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com E ( X ) = μ e V ( X ) = σ 2 . Qual é a perda de qualidade do processo?

Passo 1

São nos dadas as seguintes informações:

E ( X ) = m

V a r ( X ) = σ 2

E nós temos que determinar:

E ( k ( X - m ) 2 )

Passo 2

Letra a:

Vamos nos lembrar da definição de variância:

V a r ( X ) = E ( ( X - E ( X ) ) 2 )

para calcular:

E ( k ( X - m ) 2 ) = k × E ( ( X - E ( X ) ) 2 ) = k V a r ( X ) = k σ 2

Passo 3

Letra b:

São nos dadas as seguintes informações:

E ( X ) = μ

V a r ( X ) = σ 2

Temos que determinar:

E ( k ( X - m ) 2 )

Primeiro, vamos notar que:

( X - m ) 2 = X 2 - 2 m X + m 2

e então, usar as propriedades do operador de expectativa:

E ( k ( X - m ) 2 ) = k ( E ( X 2 ) - 2 m × E ( X ) + m 2 )

Finalmente, vamos substituir μ por E ( X ) e relembrar que:

E ( X 2 ) = σ 2 + μ 2

para achar:

E ( k ( X - m ) 2 ) = k ( μ 2 + σ 2 - 2 m σ + m 2 ) = k ( ( μ - m ) 2 + σ 2 ) )

Resposta

  1. k σ 2
  2. k ( ( μ - m ) 2 + σ 2 )
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