Sejam X 1 , … , X n variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetros λ 1 , … ,   λ n , respectivamente:

a) determine a distribuição de X ( 1 ) = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i ;

b) mostre que P ( X k = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i ) = λ k λ 1 + … + λ n , para k = 1 , … , n .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas seja X 1 , … , X n variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetros λ 1 , … ,   λ n , respectivamente:

a) determine a distribuição de X ( 1 ) = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i ;

b) mostre que P ( X k = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i ) = λ k λ 1 + … + λ n , para k = 1 , … , n .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então rapaziada seja X 1 , … , X n variáveis aleatórios independentes com distribuição exponencial de parâmetro λ 1 ,   … ,   λ n

Temos que na letra (a) para determinar a distribuição,

X ( 1 ) = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i

Temos que,

∫ 1 n x d x → x 2 2 ​ 1 n = n 2 2 - 1 2

Logo,

n 2 2 - 1 2 = 0 → n 2 2 = 1 2 → n = 1

Na letra (b) para mostrar que,

P ( X k = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i ) = λ k λ 1 + … + λ n , para k = 1 , … , n .

Temos,

P ( X k = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i ) = λ k λ 1 + … + λ n

Logo,

P ( X k = min 1 ≤ i ≤ n ⁡ X i ) = λ k + 1 λ 1 + … + λ n ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) n = 1

b) λ k + 1 λ 1 + … + λ n ≠ 0

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