Enunciado

As v.a. X e Y têm distribuição conjunta dada por:

Prove que   ∬ f ( x ,   y ) d x d y   =   1 .

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para pegar o que aconteceu lá na combinação das variáveis e provar as integrais. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a definição. Para todos os valores de x entre 0 e 2, o y da função fica variando entre os valores associados ao x, acompanhando aquela função de reta dada ali. Para quaisquer outros números, a função vale zero. Então, com isso, já sabemos nossos limites de integração.

Passo 3

Pronto!! Agora é só calcular!!

∫ 0 2 ∫ 0 2 f x ,   y d x d y   = ∫ 0 2 ∫ 0 2 1 8 x x - y d y d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 f x ,   y d x d y   = - 1 8 [ ∫ 0 2 ∫ x 2 - x y d y ] d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 f x ,   y d x d y   = 1 4   2 4 4

∫ 0 2 ∫ 0 2 f x ,   y d x d y   =   1

Resposta

∬ f ( x ,   y ) d x d y   =   1

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