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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 42

Suponha que a função densidade de probabilidade da variável aleatório X é dada por: f x = 1 n ! x n e - x , x > 0 ,   e   f x , y = 0 caso contrário. Suponha também que, dado X = x x > 0 , as n variáveis aleatórias Y 1 ,   Y 2 , … ,   Y n são independentes e a função densidade condicional de cada uma delas é como segue; g y x = 1 x ,   0 < y < x ,   e   g y x = 0 caso contrário. Determine:

a) a função densidade conjunta de Y 1 , … . , Y n

b) a função densidade conjunta de X dado Y 1 = y 1 , … . , Y n = y n .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas suponha que a função densidade de probabilidade da variável aleatório X é dada por: f x = 1 n ! x n e - x , x > 0 ,   e   f x , y = 0 caso contrário. Suponha também que, dado X = x x > 0 , as n variáveis aleatórias Y 1 ,   Y 2 , … ,   Y n são independentes e a função densidade condicional de cada uma delas é como segue; g y x = 1 x ,   0 < y < x ,   e   g y x = 0 caso contrário. Determine:

a) a função densidade conjunta de Y 1 , … . , Y n

b) a função densidade conjunta de X dado Y 1 = y 1 , … . , Y n = y n .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera, primeiro essa questão supõe que a probabilidade com variável x vale,

f x = 1 n ! x n   e - x ,   x > 0

E que sua função densidade condicional vale,

g y x = 1 x ,   0 < y < x     e     g y x = 0

Sendo que para achar na letra (a) a densidade conjunta de Y 1 , … , Y n temos,

∫ g - 1 f y y 1 , y 2 d x 1 d x 2

Logo temos,

f y y 1 , y 2 . x 1 → f y y 1 , y 2 x - 1

Ficando,

f y y 1 , y 2 . g - 1

Já na letra (b) para determinar a densidade condicional de x dado Y 1 = y 1 , … , y n temos

f x = ∫ 0 1 1 x ! = 1 x + 1   ​ 0 1 = 1 2

Logo sua variável n vai valer,

n = 1 2

Com isso, a formação da equação de Bernoulli vai ser,

P x = 1 2 = ∑ i = 1 n n 1 2 . p 1 2 1 - p n - 1 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P x = 1 2 = ∑ i = 1 n n 1 2 . p 1 2 1 - p n - 1 2

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