Enunciado

Está sendo testado um novo processo de detectar mais acuradamente a respiração anaeróbica em células. O novo processo é importante devido à sua alta acurácia, à sua falta de experimentação extensiva e ao fato de que ele poderia ser usado para identificar cinco categorias diferentes de organismos: anaeróbios obrigatórios, anaeróbios facultativos, aerotolerantes, microaerófilos e nanaeróbios, em vez de usar um único teste para cada categoria. O processo alega que ele pode identificar anaeróbios obrigatórios com 97.8 % de acurácia, anaeróbios facultativos com 98,1 % de acurácia, aerotolerantes com 95,9 % de acurácia, microaerófilos com 96.5% de acurácia e nanaeróbios com 99,2% de acurácia. Se qualquer categoria não estiver presente, o processo não sinaliza. Amostras são preparadas para a calibração do processo e 31 % delas contêm anaeróbios obrigatórios, 27 % contêm anaeróbios facultativos, 21 % contêm microaerófilos, 13 % contém nanaeróbios e 8 % contêm aerotolerantes. Uma amostra de teste é selecionada aleatoriamente.

  1. Qual é a probabilidade de o processo sinalizar?
  2. Se o teste sinalizar, qual é a probabilidade de os microaerófilos estarem presente?

Passo 1

Vamos especificar os eventos:

A 1 = identificar anaeróbios obrigatórios,

A 2 = identificar anaeróbios facultativos,

A 3 = identificar anaeróbios aerotolerantes.

A 4 = identificar microaerófilos anaeróbios,

A 5 = identificar nanaeróbios anaeróbios,

B = os sinais do processo,

A 4 | B = mieroaerófilos estão presentes na condição de sinalização do processo.

Passo 2

Na letra a:

A probabilidade do evento S é necessária. Calcule usando a lei da probabilidade total dada abaixo.

Aliás, a lei da probabilidade total é o seguinte: Se A 1 ,   A 2 ,   . . . ,   A n são mutuamente exclusivos, e U n i = 1 A i = S ( = Ω ) , então para qualquer evento B , o seguinte é verdadeiro:

P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) + . . . + P ( B | A n ) P ( A n ) = ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i )

As probabilidades de P ( B | A i ) ,   P ( A i ) i = 1,2 , 3 são dadas no exercício. A união de todos os eventos A i i = 1,2 , 3,4 , 5 nos dá Ω e são mutuamente exclusivos, conseqüentemente, pela lei da probabilidade total, temos:

P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) + P ( B | A 3 ) P ( A 3 ) + P ( B | A 4 ) P ( A 4 ) + P ( B | A 5 ) P ( A 5 ) =

= 0.31 × 0.978 + 0.27 × 0.965 + 0.21 × 0.965 + 0.13 × 0.992 + 0.08 × 0.959 ≈ 0.976

Passo 3

Na letra b:

Aqui, a probabilidade do evento A 4 | B é necessária. Para calcular isso, o teorema de Bayes pode ser usado como a união de todos os eventos A i , i = 1,2 , 3,4 , 5 nos dá Ω e eles são mutuamente exclusivos.

Aliás, falando sobre o teorema de Bayes, para A 1 ,   A 2 , . . . ,   A n , eventos mutuamente exclusivos e U n i = 1 A i = Ω as probabilidades anteriores são P ( A i ) ,   i = 1,2 , . . . , n ) . Se B é um evento para o qual P ( B ) > 0 , então a probabilidade posterior de A , dado que B ocorreu é:

P ( A j | B ) = P ( A j ∩ B ) P ( B ) = P ( B | A j ) P ( A j ) ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i ) ,   j = 1,2 , . . . , n

Então, é verdade que:

P ( A 4 | B ) = P ( A 4 ∩ B ) P ( B ) = P ( B | A 4 ) P ( A 4 ) ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i ) ≈ 0.21

onde (a) é usado.

Resposta

  1. 0.976
  2. 0.21
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