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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 73

Um sistema de computadores usa senhas, que são seis caracteres, sendo cada caractere uma das 26 letras (a-z) ou 10 inteiros (0-9). Letras maiúsculas não são usadas. Seja A o evento em que uma senha comece com uma vogal (a, e, i, o, u) e seja B o evento em que a senha termine com um número par(0, 2, 4, 6 ou 8). Suponha que um invasor selecione uma senha ao acaso. Determine as seguintes probabilidades:

  1. P ( A )
  2. P ( B )
  3. P ( A ∩ B )
  4. P ( A ⋃ B )

Passo 1

Todas as possibilidades podem ser calculadas assim:

N = ( T o t a l   d e   p o s s i b i l i d a d e s   d e   c a r a c t e r ) ( N ú m e r o   c a r a c t e r e s   d a   s e n h a ) = 3 6 6

As possibilidades do evento A podem ser calculadas assim:

N A = N o .   d e   v o g a i s × ( T o t a l   d e   p o s s i b i l i d a d e s   d e   c a r a c t e r ) ( N ú m e r o   d e   c a r a c t e r e s   d a   s e n h a - 1 ) = 5 × 3 6 5

A gente reduz o expoente em um já que o primeiro caracter tem que ser uma vogal e multiplicamos por 5 já que tem que teremos 5 vogais.

Passo 2

O mesmo é feito para o evento B :

N B = N o .   d e   n ú m e r o   p a r e s × ( T o t a l   d e   p o s s i b i l i d a d e s   d e   c a r a c t e r ) ( N ú m e r o   d e   c a r a c t e r e s   d a   s e n h a   - 1 ) = 5 × 3 6 5  

O último dígito é reservado para um número par nessa situação.

Passo 3

Letra a:

P ( A )   =   N A N = 5 36

Passo 4

Letra b:

P ( B )   =   N B N = 5 36

Passo 5

Letra c:

P ( A ∩ B )   =   N A ∩ B N = 25 3 6 2 = 0.01929

Passo 6

Letra d:

P ( A ⋃ B )   =   P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ) = 0.25849

Para calcular o número de possibilidades de senha que começam com uma vogal e terminam com um número par, a gente tem que notar que:

  • Temos dois dígitos reservados e cada um deles pode assumir 5 valores diferentes.
  • Temos outros 4 dígitos em que cada um deles pode assumir 36 valores diferentes.

Sabendo disso, a gente pode contar as possibilidades assim:

N A ∩ B = N o .   d e   v o g a i s × N o .   d e   n ú m e r o s   p a r e s × ( T o t a l   d e   p o s s i b i l i d a d e s   d e   c a r a c t e r ) ( N o .   d e   c a r a c t e r e s   d a   s e n h a   - 2 )

= 5 × 5   × 3 6 4 = 25 × 3 6 4

Resposta

  1. P ( A )   =   N A N = 5 36
  2. P ( B )   =   N B N = 5 36
  3. P ( A ∩ B )   =   N A ∩ B N = 25 3 6 2 = 0.01929
  4. P ( A ⋃ B )   =   P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ) = 0.25849
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