Suponha que o crescimento médio real μ de um tipo de planta durante o período de um ano seja idêntico ao de um segundo tipo, mas a variância de crescimento do primeiro tipo seja σ 2 , enquanto a do segundo é 4 σ 2 . Sejam X 1 , … , X m , m observações independentes de crescimento para o primeiro tipo [assim, E X i = μ , V X i = σ 2 ], e Y 1 , … , Y n , n observações independentes de crescimento para o segundo tipo E Y i = μ , V Y i = 4 σ 2 .

a. Mostre que, para qualquer δ entre 0 e 1, o estimador μ ˆ = δ X ‾ + ( 1 - δ ) Y ‾ é não-tendencioso para μ .

b. Para m e n fixos, calcule V ( μ ˆ ) e depois determine o valor de δ que minimiza V ( μ ˆ ) . [Sugestāo: diferencie V ( μ ˆ ) em relação a δ . ]

Passo 1

Mostre que, para qualquer δ entre 0 e 1, o estimador μ ˆ = δ X ‾ + ( 1 - δ ) Y ‾ é não-tendencioso para μ .

a .   E [ δ X _ + ( 1 - δ ) Y _ ] = δ E ( X _ ) + ( 1 - δ ) E ( Y _ ) = δ μ + ( 1 - δ ) μ = μ

Passo 2

Para m e n fixos, calcule V ( μ ˆ ) e depois determine o valor de δ que minimiza V ( μ ˆ ) . [Sugestāo: diferencie V ( μ ˆ ) em relação a δ . ]

b .   V a r ⁡ [ δ X _ + ( 1 - δ ) Y _ ] = δ 2 V a r ⁡ ( X _ ) + ( 1 - δ ) 2 V a r ⁡ ( Y _ ) = δ 2 σ 2 m + 4 ( 1 - δ ) 2 σ 2 n .

Definir a derivada em relação a δ igual a 0 produz 2 δ σ 2 m + 8 ( 1 - δ ) σ 2 n = 0 da qual δ = 4 m 4 m + n

Resposta

a . μ

b. δ = 4 m 4 m + n

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