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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 3

Suponha que estamos atirando dardos num alvo circular de raio 10 cm, e seja X a distância do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A f.d.p. de X é

f x = k x ,     s e   0   ≤ x ≤ 10 0 ,     p a r a   o s   d e m a i s   v a l o r e s .

(a) Qual a probabilidade de acertar o centro do alvo, se esse for um círculo de 1 cm de raio?

(b) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área.

Passo 1

(a) Qual a probabilidade de acertar o centro do alvo, se esse for um círculo de 1 cm de raio?

Bom, queremos a probabilidade de x < 1 . Para isso, primeiro precisamos calcular o valor da nossa constante k.

Se temos uma f.d.p. de uma variável aleatória contínua, sabemos que a integral em todo o seu domínio Ω deve ser igual a um.

Então

∫ Ω k x   d x = ∫ 0 10 k x   d x

∫ 0 10 k x   d x = k × ∫ 0 10 x = k × x 2 2 0 10 = 50 k = 1

k = 0,02

Passo 2

Como k = 0,02. Logo P ( X < 1 )

P X < 1 = ∫ 0 1 0,02 x   d x = 0,02 × ∫ 0 1 x = 0,02 × x 2 2 0 1 = 0,01

Passo 3

(b) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área.

Esse é o nosso alvo circular...

Sabemos que a área do círculo é π r 2 , no caso do nosso alvo

A = π ( 10 ) 2

Qualquer círculo concêntrico, é qualquer círculo que compartilha o mesmo centro, dessa forma, vamos considerar um r qualquer. Logo, precisamos calcular a probabilidade de X < r .

Então

  P X < r = ∫ 0 r 0,02 x   d x = 0,02 × x 2 2 0 r = 0,01 r 2 = π r 2 π 10 2

Resposta

(a) 0,01

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