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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 1e

Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam em fora dos intervalos especificados).

e. f x = 2 + x 4 ,   - 2 ≤ x ≤ 0 ; 2 - x 4 ,     0 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Eai,tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

O exercício nos pede para verficar se função é ou não de densidade de probabilidade, lembrando que fora do intervalo elas são nulas. Certo?

Pois bem, você se lembra desse conceito? Porque se não, é hora de dar aquela revisão!

Para verificarmos o que enunciado nos pede, precisamos verificar se a função satisfaz as seguintes hipóteses:

  1. f x ≥ 0 ,   para todo x ;
  2. A área definida por f ( x ) é igual a 1 .

Bora então resolver esse exercício?

Passo 2

Observe que o item i é satisfeito, por 2 + x 4 ≥ 0 ,   2 - x 4 ≥ 0 para quaisquer valores que tomarmos entre os intervalos   - 2 ≤ x ≤ 0   e 0 ≤ x ≤ 2 .

Agora, vamos verificar se o item ( i i ) é satisfeito. Ou seja, se:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1 .

Passo 3

Calculando a integral, temos que:

∫ - ∞ ∞ f x d x = ∫ - 2 0 2 + x 4 d x +   ∫ 0 2 2 - x 4   d x = ∫ - 2 0 2 4 + x 4 d x +   ∫ 0 2 2 4 - x 4   d x      

= 1 2 × x + 1 4 × x 2 2 - 2 0 + 1 2 × x - 1 4 × x 2 2 0 2

= 0 + 0 - 1 2 × - 2 - 1 4 × - 2 2 2 + 1 2 × 2 -   1 4 × 2 2 2 - 0 - 0

= 1 - 1 2 + 1 - 1 2 = 2 - 2 2 = 2 - 1 = 1

Como a área definida por f ( x ) é igual a 1 , então concluímos que a função satisfaz a hipótese ( i i ) para ser uma função densidade de probabilidade.

Resposta

Logo, a função é uma função densidade de probabilidade.

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