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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 1c

Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam em fora dos intervalos especificados).

c. f x = x - 3 2 , 3 ≤ x ≤ 5 .

Passo 1

Eai,tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

O exercício nos pede para verficar se função é ou não de densidade de probabilidade, lembrando que fora do intervalo elas são nulas. Certo?

Pois bem, você se lembra desse conceito? Porque se não, é hora de dar aquela revisão!

Para verificarmos o que enunciado nos pede, precisamos verificar se a função satisfaz as seguintes hipóteses:

  1. f x ≥ 0 ,   para todo x ;
  2. A área definida por f ( x ) é igual a 1 .

Bora então resolver esse exercício?

Passo 2

Observe que o item i é satisfeito, por x - 3 2 ≥ 0 para quaisquer valores que tomarmos entre o intervalo 3 ≤ x ≤ 5 .

Agora, vamos verificar se o item ( i i ) é satisfeito. Ou seja, se:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1 .

Passo 3

Calculando a integral, temos que:

∫ - ∞ ∞ f x d x = ∫ 3 5 x - 3 2 d x = 1 2 × x 2 2 - 3 x =   1 2 × 5 2 2 - 3 × 5 - 3 2 2 - 3 × 3

= 1 2 × 25 2 - 15 - 9 2 + 9 = 1 2 × 16 2 - 6 = 1 2 × 8 - 6 = 1 2 × 2 = 1 .

Como a área definida por f ( x ) é igual a 1 , então concluímos que a função satisfaz a hipótese ( i i ) para ser uma função densidade de probabilidade.

Resposta

Logo, a função é uma função densidade de probabilidade.

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