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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 8

Suponha que estejamos medindo a posição de um objeto no plano. Sejam e os erros de mensuração das coordenadas x e y, respectivamente. Suponha que X e Y sejam independentes e identicamente distribuídos, cada um deles com a distribuição N ( 0 ,   σ 2 ) . Estabeleça a distribuição de R = X 2 + Y 2 . (A distribuição de é conhecida como distribuição de Rayleigh.):.

Estabeleça a fdp da variável aleatória Q = X / Y . É possível calcular E(Q)?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a nossa distribuição. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

N ( 0 ,   σ 2 )

μ = 0

R = X 2 + Y 2

Q = X Y

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

P X ≥ x = P Y ≥ x - μ σ

Com isso, podemos começar a pensar.

v = y

x = v q

f x = 1 2 π σ ² e - 1 2 x σ 2 1 2 π σ ² e - 1 2 y σ 2

f x = 1 2 π σ ² e - 1 2 1 σ 2 ( x 2 + y 2 )

X = R cos ⁡ ϕ

Y = R sin ⁡ ϕ

x = G 1 r , ϕ = r cos ⁡ ϕ

y = G 2 r ,   ϕ = r sin ⁡ ϕ

Substituindo na relação, temos que:

k r , ϕ = f G 1 r , ϕ ,   G 2 r ,   ϕ | J |

J r ,   ϕ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ ϕ

J r ,   ϕ = cos ⁡ ϕ - r sin ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ r cos ⁡ ϕ

J r ,   ϕ = r

k r , ϕ = r f r cos ⁡ ϕ ,   r sin ⁡ ϕ

k r , ϕ = r 2 π σ ² e - r ² 2 σ ²

g r = r 2 π σ ² ∫ r 2 π σ ² e - r ² 2 σ ²   d ϕ  

g r = r σ ² e - r ² 2 σ ²    

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

p q = ∫ g v q h v v ∂ v

p q =   r 2 π σ ²   ∫ v e - v 2 2 σ 2 q 2 + 1 ∂ v -   r 2 π σ ²   ∫ v e - v 2 2 σ 2 q 2 + 1 ∂ v

p q = 1 π q 2 + 1

Resposta

p q = 1 π q 2 + 1

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