Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 92

Suponha que as falhas ao longo de uma fita magnética sigam a distribuição de Poisson, com uma média de 0.2 falha por metro. Seja X a distância entre duas falhas sucessivas.

  1. Qual é a média de X?
  2. Qual é a probabilidade de não haver falhas em 10 metros consecutivos de fita?
  3. Sua resposta no item (b) mudaria se os 10 metros não fossem consecutivos?
  4. Quantos metros de fita precisam ser inspecionados, de modo que a probabilidade de no mínimo uma falha ser encontrada seja igual a 90%?
  5. Qual é a probabilidade de que a primeira vez em que a distância entre duas falhas exceda 8 metros seja na quinta falha?
  6. Qual é o número médio de falhas antes que uma distância entre duas falhas exceda 8 metros?

Passo 1

Seja X   a variável aleatória exponencial decorrente do processo de Poisson com a taxa λ = 0.2 falhas por metro. Sua função de distribuição cumulativa é então dado por:

F ( x ) = 1 - e - 0.2 x , x   ≥   0

X pode ser interpretado como o comprimento aleatório em metros até a primeira falha ser detectado, ou, alternativamente, como a distância aleatória entre duas falhas.

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular a média da variável aleatória X :

E ( X ) = 1 0.2 = 5   m e t r o s

Passo 3

Letra b:

P ( X > 10   m e t r o s ) = 1 - F ( 10 ) = e - 0.2 × 10 ≈ 0.135

Passo 4

Letra c:

Não. A resposta não muda por causa da independência, a resposta neste cenário é:

P ( X > 1 ) 10 = ( e - 0.2 × 1 ) 10 = e - 2

Que é a mesma resposta da letra anterior.

Passo 5

Letra d:

Vamos escrever a equação:

0.9 = P ( X < x ) = F ( x ) = 1 - e - 0.2 x

E resolver para achar x :

x = - 5 l n 0.1 = 11.51

Passo 6

Letra e:

Para começar, vamos calcular a probabilidade de que a distância entre duas falhas consecutivas são maiores que 8 metros:

P ( X > 8   m e t r o s ) = e - 0.2 × 18 ≈ 0.202

Introduzindo a variável aleatória geométrica Y com o parâmetro p e calculando, temos:

P ( Y = 5 ) = ( 1 - p ) 4 p   = 0.79 8 4 × 0.202   ≈   0.082

Passo 7

Letra f:

Calculando a média da variável aleatória geométrica Y :

E ( Y ) = 1 p = 1 0.202   ≈   4.95

Resposta

  1. 5
  2. 0.135
  3. Não
  4. 11.51
  5. 0.082
  6. 4.95
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o Exercício de revisão 6.76. Dada aconjectura da distribuição exponencial, qual é o númeromédio de chamadas por hora? Qual é a variância do nú­mero de chamadas por hora?
No Exercício de revisão 6.80, explique por que anatureza do cenário não combinaria com uma distribui­ção exponencial
A vida útil, em horas, de uma broca de perfuraçãoem uma operação mecânica tem distribuição Weibullcom a = 2 e = 50. Determine a probabilidade de quea broca falhará antes de dez horas de uso.
Em uma indústria química, é importante que aprodução de certo tipo de lote fique acima de 80% . Seficar abaixo disso por um período extenso, a empresaperde dinheiro. Lotes fabricados que apresentam de
Considere a informação do Exercício de revisão6.64. Qual é a probabilidade de que menos de 200 horastranscorrerão antes que duas falhas ocorram?