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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 94

Deduza a fórmula para a média e a variância de uma variável aleatória exponencial.

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o parâmetro λ . Sua função de densidade de probabilidade f é dada como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   0   ≤   x

Vamos calcular as integrais necessárias usando integração por partes:

Para a média:

E ( X ) = ∫ 0 ∞ λ e - λ x x d x = ( u = - e - λ x ,   v = x ) = ∫ v d u = u v | x = 0 x = ∞ - ∫ u d v = 0 + ∫ 0 ∞ e - λ x d x = 1 λ

Passo 2

Para a variância:

E ( X 2 ) = ∫ 0 ∞ λ e - x λ x 2 d x = ( u = - e - λ x ,   v = x 2 ) = ∫ v d u = u v | x = 0 x = ∞ - ∫ u d v = 0 + ∫ 0 ∞ e - λ x 2 x d x = 2 λ ∫ 0 ∞ λ e - λ x x d x = = 2 λ E ( X ) = 2 λ 2

E depois:

V a r ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 = 2 λ 2 - 1 λ 2 = 1 λ 2

Resposta

Use a integração por partes para calcular a média e a variância diretamente das fórmulas que nós sabemos (empregamos V a r ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 ) .

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