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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 8

Suponha que B ( n , p ) represente uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Mostre que

P { B ( n , p ) ≤ i } = 1 - P { B ( n , 1 - p ) ≤ n - i - 1 }

Dica: O número de sucessos menor ou igual a i é equivalente a que informação a respeito do número de fracassos?

Passo 1

Suponha que n tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p , sejam realizadas. Então, o número de sucessos será menor ou igual a i se e somente se o número de fracassos for maior ou igual a n - i . Mas como cada tentativa é um fracasso com probabilidade 1 - p , resulta que o número de fracassos é uma variável aleatória binomial com parâmetros n e 1 - p . Portanto,

P { c e s t o ⁡ ( n , p ) ≤ i } = P {  cesto  ( n , 1 - p ) ≥ n - i }

= 1 - P {  cesto  ( n , 1 - p ) ≤ n - i - 1 }

A igualdade final resulta do fato de que a probabilidade do número de fracassos ser maior ou igual a n - i é igual a 1 menos a probabilidade de que ela seja menor que n - i .

Resposta

A igualdade final resulta do fato de que a probabilidade do número de fracassos ser maior ou igual a n - i é igual a 1 menos a probabilidade de que ela seja menor que n - i .

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