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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 12

Suponha que f e g sejam fdp no mesmo intervalo a ≤ x ≤ b .

a) Verifique que f + g não é uma fdp nesse intervalo.

b) Verifique que, para todo número β , 0 < β < 1 , β f x + 1 - β g x é uma fdp nesse intervalo.

Passo 1

Se f e g são fdp no intervalo a ≤ x ≤ b , elas devem ser positivas nesse intervalo:

f x ≥ 0               e             g x ≥ 0 ,                 a ≤ x ≤ b

E, além disso, devem ser normalizadas:

∫ a b f x   d x = ∫ a b g x   d x = 1

Agora, consideremos h x = f x + g x :

∫ a b h x   d x = ∫ a b f x   d x + ∫ a b g x   d x = 1 + 1 = 2

Vemos que h não satisfaz a condições de normalização, de modo que não pode ser uma fdp!

Passo 2

Agora vamos considerar

h x = β f x + 1 - β g x ,             0 < β < 1

É fácil perceber que β > 0 e 1 - β > 0 . Assim,

β f x ≥ 0               e           1 - β g x ≥ 0

Portanto,

h x ≥ 0

Além disso,

∫ a b h x   d x = β ∫ a b f x   d x + 1 - β ∫ a b g x   d x = β + 1 - β = 1

Logo, h x = β f x + 1 - β g x satisfaz todas as propriedades de uma fdp!

Resposta

Demonstração.

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