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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.3 - Ex. 1

Sendo X tilde G (0 , 4) , calcule:

  1. P ( X = 3 ) .
  2. P (2 <= X < 4) .
  3. P (X > 1,X <= 2)
  4. P (X >= 1) .

Passo 1

Temos uma V.A. geométrica, então lembrando:

P (X - k) = p (1 - p)^k ,

Sendo 0 <= p <= 1 , e k = 0,1 , 2 , ... .

Passo 2

  1. Utilizando a fórmula:

    2. P (X = 3) = 0,4 (1 - 0,4)^3 = 0,4 xx 0,6^3 = 0,0864

    Passo 3

    3. P (2 <= X < 4) = P (X = 2) + P ( X = 3 )

    P (2 <= X < 4) = 0,144 + 0,0864 = 0,2304

    Passo 4

  3. Lembrando a fórmula de probabilidade condicional:

    4. P (B,A) = (P (A uu B))/(P ( A ))

    Então:

    P (X > 1,X <= 2) = (P (X = 2))/(P (X = 0) + P (X = 1) + P ( X = 2 ))

    P (X > 1,X <= 2) = (0,144)/(0,4 + 0,24 + 0,144) = 0,1837

    Passo 5

  4. A pegadinha dessa é que teríamos que fazer uma soma de parcelas infinitas, mas isso levaria um tempo infinito e isso não me parece uma boa ideia, né? Então vamos driblar esse problema. A série geométrica pode ser interpretada como um soma infinita de uma PG. Sabemos que a soma para a serie geométrica vale 1:

sum_(k = 0)^(oo) a r^k = (a)/(1 - r)

Para o nosso problema temos todos os termos da série geométrica, menos o primeiro como vemos a seguir:

P (X >= 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + ...

P (X <= 1) = 0,4 (0,6)^1 + 0,4 (0,6)^2 + 0,4 (0,6)^3 + ...

P (X <= 1) = sum_(k = 1)^(oo) 0,4 xx 0,6^k

Para eu chegar na carinho do meu somatório da PG, falta o termo que tem k = 0 , que termo seria esse? Bom substituindo 0 no lugar de k no somatório, faríamos 0,4 xx 0,6^0 = 0,4 . Logo vou adicionar esse valor aos dois lados da minha equação:

P (X <= 1) + 0,4 = sum_(k = 1)^(oo) 0,4 xx 0,6^k + 0,4

Agora do lado direito temos o somatório da PG, que quando tem infinitos termos vale 1. Logo o lado direito vale 1:

P (X <= 1) + 0,4 = 1

P (X <= 1) = 1 - 0,4 = 0,6

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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