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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.3 - Ex. 2

Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos anteriores à ocorrência de cara. Determine:

  1. P X ≤ 2 .
  2. P X > 1 .
  3. P 3 < X ≤ 5 .
  4. Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.

Passo 1

Vamos modelar nosso problema como uma variável aleatória geométrica, consideraremos uma moeda honesta onde a probabilidade de dar cara é 0,5, então temos que X ~ G ( 0,5 ) .

Passo 2

    2. P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P ( X = 2 )

    P X ≤ 2 = 0,5 + 0,5 2 + 0,5 3 = 0,875

    Passo 3

    3. P X > 1 = P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + …

    Como não é possível fazer uma soma com parcelas infinitas, vamos nos lembrar que o somatório de uma PG, que começa em 0 e vai até o infinito vale 1. Logo:

    P X > 1 =   ∑ k = 2 ∞ 0,5 × 0,5 k

    Somando os termos “faltantes” da PG em cada lado:

    P X > 1 + 0,5 + 0,5 × 0,5 =   ∑ k = 2 ∞ 0,5 × 0,5 k + 0,5 + 0,5 × 0,5

    P X > 1 + 0,5 + 0,25 =   ∑ k = 0 ∞ 0,5 × 0,5 k

    Do lado direito temos a soma da PG infinita, logo:

    P X > 1 = 1 - 0,75 = 0,25

    Passo 4

    4. P 3 < X ≤ 5 =   P X = 4 + P X = 5

    P 3 < X ≤ 5 = 0,5 × 0,5 4 + 0,5 × 0,5 5 = 0,047

    Passo 5

  4. Precisamos obter um número l tal que P X ≤ l tem que ser pelo menos maior quer 80 % , então vamos calcular a função de distribuição descobrir qual delas primeiro ultrapassa 80 % :

F 0 = P X ≤ 0 =   P X = 0 = 0,5

F 1 = P X ≤ 1 = P X = 0 + P ( X = 1 ) = 0,5 × 0,5 2 = 0,125

F 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 = 0,5 + 0,5 2 + 0,5 3 = 0,875

Logo F 2 = 0,875 , que é maior que 80 % , logo eu que l = 2 , portanto eu preciso estar no mínimo no terceiro lançamento para ter pelo menos 80% de chance de a moeda virar cara. O que faz sentido né? Se a probabilidade de cada lado é 0,5 , no terceiro lançamento, se já deram duas Coroas, existem mais chances do próximo vir Cara! Pelo menos é o que o modelo nos diz.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que f e g sejam fdp no mesmo intervalo a ≤ x ≤ b .a) Verifique que f + g não é uma fdp nesse intervalo.b) Verifique que, para todo número β , 0β1 , β f x + 1 - β g x é uma fdp nesse intervalo.
A variável aleatória contínua X tem para fdp: f x = x / 2 , 0 ≤ x ≤ 2 . São feitas duas determinações independentes de X . Qual será a probabilidade de que ambas essas determinações sejam maiores do q
Calcule P ( X = 5 ) , onde X é a variável aleatória definida no Ex. 4.10. Suponha que n 1 = 10 ,n 2 = 15 ,p 1 = 0,3 ,p 2 = 0,2 .
(Propriedades das Probabilidades Binomiais.) Na explanação do Ex. 4.8, um padrão geral para as probabilidades binomiais n k p k 1 - p n - k foi sugerido. Vamos denotar essas probabilidades por. p n k
(Propriedades das Probabilidades Binomiais.) Na explanação do Ex. 4.8, um padrão geral para as probabilidades binomiais n k p k 1 - p n - k foi sugerido. Vamos denotar essas probabilidades por. p n k