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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 14

Suponha que temos uma amostra aleatória de tamanho 2n, proveniente de uma população denotado por X e E(X)= mi e V(X)=sigma^2. Sejam

dois estivadores de mi. Qual é o melhor estimador de mi? Explique sua escolha.

Passo 1

As informações fornecidas são:

Uma amostra aleatória de tamanho 2 n de uma população denotada por X, E ( X ) = μ e V ( X ) = σ 2

X 1 _ = 1 2 n ∑ i = 1 2 n X i e X 2 _ = 1 2 ∑ i = 1 2 X i representam dois estimadores de n.

E ( X 1 _ ) = E 1 2 n ∑ i = 1 2 n X i = 1 2 n ∑ i = 1 2 n E ( X i )

= 2 n 2 n μ = μ

Passo 2

Então, X 1 _ é um estimador não-tendencioso de μ .

E ( X 2 _ ) = E 1 n ∑ i = 1 n X i = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i )

= n n μ = μ

Conseqüentemente, X _ 2 é um estimador não-tendencioso de μ .

Passo 3

Então,

V ( X 1 _ ) = V 1 2 n ∑ i = 1 2 n X i = 1 4 n 2 ∑ i = 1 2 n V ( X i )

= 1 4 n 2 ∑ i = 1 2 n σ 2 = 2 n σ 2 4 n 2 = σ 2 2 n

E

V ( X 2 _ ) = V 1 n ∑ i = 1 n X i = 1 n 2 ∑ i = 1 n V ( X i )

= 1 n 2 ∑ i = 1 n σ 2 = n σ 2 n 2 = σ 2 n

Porque V ( X 1 _ ) é menor que V ( X _ 2 ) ,   σ 2 2 n < σ 2 n , X 1 _ é o melhor estimador de μ .

Resposta

X 1 _ é o melhor estimador de μ .

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