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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 31

Com base em testes extensivos, foi determinado por um fabricante de máquinas de lavar roupas que o tempo Y em anos, antes que sejam necessários grandes reparos na máquina, é caracterizado pela função de densidade de probabilidade

f x = 1 4 e - y / 4 ,                                         y ≥ 0 0 ,                           c a s o   c o n t r á r i o

(a) Os críticos certamente considerariam o produto uma barganha se for improvável que ele necessite de grandes reparos antes do G1 ano de uso. Comente determinando P ( Y > 6 ) .

(b) Qual é a probabilidade de que seja necessário um grande reparo no primeiro ano?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

O enunciado nos pede para calcularmos a probabilidade P ( Y > 6 ) .

Usando a definição de complemento, e a fórmula do Passo 1.

P Y > 6 = 1 - P ( Y ≤ 6 )

= 1 - ∫ - ∞ 6 f ( y ) d y

= 1 - ∫ 0 6 1 4 e - y / 4 d y

= 1 - - e - y 4 0 6

= 1 - - e - 6 4 + e 0

= 1 + e - 3 / 2 - 1

P Y > 6 = 0,2231

Passo 3

Por fim, queremos a probabilidade P Y ≤ 1 .

Usando a fórmula do Passo 1.

P Y ≤ 1 = ∫ - ∞ 1 f y d y

= ∫ 0 1 1 4 e - y / 4 d y

= - e - y 4 0 1

= - e - 1 4 + e 0

= 1 - e - 1 / 4

P Y ≤ 1 = 0,2212

Resposta

(a) 0,2231

(b) 0,2212

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