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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 46

Suponha que uma variável aleatória seja normalmente distribuídas, com média e variância. Dessa distribuição, retiramos uma amostra aleatória com cinco observações. Qual será a função densidade conjunta de probabilidade da amostra?

Passo 1

A variável aleatória é normalmente distribuída com média μ   e variância σ 2 .

A distribuição de probabilidade de X é:

f ( x ; μ , σ 2 ) = 1 2 π σ e - 1 2 σ 2 ( x - μ ) 2 ,   - ∞ < x < ∞

f ( x ; μ , σ 2 ) =   0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Passo 2

O tamanho da amostra é 5 e x 1 ,   x 2 , . . . ,   x n são independentes.

Vamos encontrar a função densidade de probabilidade conjunta da amostra.

f ( x 1 , x 2 , . . . ,   x 5 | μ ,   σ 2 ) = f ( x 1 ;   μ ,   σ 2 ) × f ( x 2 ; μ , σ 2 ) × . . . × f ( x s ; μ , σ 2 )

= 1 ( 2 π σ 2 ) 5 2 e - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 5 ( x i - μ ) 2

Resposta

1 ( 2 π σ 2 ) 5 2 e - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 5 ( x i - μ ) 2

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