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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 49

A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal, com uma média de 6000 quilogramas por centímetro quadrado e um desvio-padrão de 100 quilogramas por centímetro quadrado.

  1. Qual é a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6250 k g / c m 2 ?
  2. Qual é a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 k g / c m 2 ?
  3. Que resistência é excedida por 95% das amostras?

Passo 1

Seja X a variável aleatória normal com a média de 6.000 e desvio padrão 100.

Em seguida, introduzimos a variável aleatória Z da seguinte forma:

Z = X - 6000 100

Seja Z a variável aleatória normal padrão com a função de distribuição cumulativa Φ dada nas tabelas dos apêndices do livro.

Passo 2

Na letra a:

P ( X < 6250 ) = P ( X - 6000 100 < 6250 - 6000 100 ) = P ( Z < 2.50 ) = Φ ( 2.5 ) = 0.9937

Passo 3

Na letra b:

P ( 5800 < X < 5900 ) = P ( - 2 < Z < - 1 ) = Φ ( 2 ) - Φ ( 1 ) = 0.1359

Passo 4

Na letra c:

Vamos escrever a equação abaixo:

0.95 = P ( X > x ) = P ( Z > x - 6000 100 ) = 1 - Φ ( x - 6000 100 )

Isso nos leva à:

Φ ( x - 6000 100 ) = 0.05

Usando as tabelas, vamos determinar:

x - 6000 100 ≈ - 1.645

E agora vamos resolver essa equação para obter x :

x = 5835.5

Resposta

  1. 0.9937
  2. 0.1359
  3. 5835.5
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