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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 34

Suponha que a variável aleatória X tome os valores -1 e 1, cada um deles com probabilidade 1/2. Considere P X - E X ≥ k V X como uma função de k, k > 0. Em um gráfico, marque esta função de k e, no mesmo sistema de coordenadas, marque o limite superior da probabilidade acima, tal como é dada pela desigualdade de Tchebycheff. Faça também para P X = - 1 = 1 3 ,   P X = 1 = 2 3   .

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a nossa variância. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

P X = 1 2

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

E X = ∑ x p ( x )

E X = ∫ x   f x d x

V X = E X 2 - E X 2

Com isso, podemos começar a pensar.

E X = 0

E X 2 = 1

V X = 1

P X - E X ≥ k V X = P X ≥ k = 1 - P X < k

P X - E X ≥ k V X = 1 - k ,   0 < k ≤ 1   0 ,   k ∉ ( 0,1 ]

P X ≥ k ≤ k - 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa esperança!!

E X = 1 3

E X 2 = 1

V X = 8 9

P X - E X ≥ k V X = 0 ,   k > 2 2 3 ,   k ≤ 2 2 1 3 , 2 2 < k ≤ 2 1 ,   k ≤ 2 2

P X - 1 3 ≥ k 2 2 3 ≤ k - 2

Resposta

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Suponha que a variável continua tenha a fdp f x = 2 x e - x 2 ,x ≥ 0 Seja Y = X ² ². Calcule E(Y) diretamente, sem obter fdp de Y, e obtendo a fdp de Y.
Suponha que a variável aleatória bidimensional (X,Y) seja uniformemente distribuída sobre o triângulo da Fig. 7.16. Estabeleça a fdp marginal de X e a de Y, e calcule V X eV Y .
Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias para as quais E X = μ x , E Y = μ y , V X = σ x ² ²e V Y = σ y ² ². Empregando o Teor. 7.7, obtenha uma aproximação de E(Z) e V(Z), onde Z = X Y .
Mostre que se X for uma variável aleatória contínua, com a fdp f tendo a propriedade de que o gráfico de f seja simétrico em relação a x=a, então E(X)=a, desde que E(X) exista.
Suponha que a variável aleatória bidimensional (X,Y) seja uniformemente distribuída sobre o triângulo da Fig. 7.15. Calcule V(X) e V(Y).