Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 41
Tamanho de uma amostra.
Passo 1
Na prática, não conhecemos a distribuição de v.a. e retiramos uma amostra a fim de estimar algum parâmetro dessa distribuição. Suponha, agora, que nosso interesse esteja na média ). Para estimá-la, colhemos uma amostra de . Logo, as v.a. são independentes, cada uma delas tem a mesma distribuição que e Para estimar consideramos a média amostral
Um problema que se apresenta é determinar o tamanho da amostra a colher. Isso pode ser feito usando a TLC, como vimos na seção .
Agora, vamos ver um procedimento diferente, também baseado no TLC, mas que envolve uma regra de parada para determinar o número de dados a colher. Esse procedimento foi sugerido por Ross (). Pelo TLC podemos escrever:
Para qualquer constante , onde e denota a f.d.a. de Por exemplo, se , a probabilidade acima é .
Passo 2
Suponha que, em vez de colher uma pequena amostra piloto para estimar , tenhamos informação suficiente para escolher um valor aceitável, digamos , para o desvio padrão de , que é dado por .
Por podemos escrever, por exemplo,
Segue-se que podemos amostrar sequencialmente de até que, em que calculamos com os valores até então escolhidos.
Passo 3
O seguinte algoritmo pode, então, ser adotado:
Escolha um valor aceitável para
Gere pelo menos dados (para obter uma estimativa razoável de ).
Continue a gerar dados, parando quando, com n dados, , com:
(4) Estime por
Passo 4
Esse método implica podermos calculare recursivamente. Isso pode ser feito por meio das seguintes fórmulas, facilmente verificáveis:
Suponha Então, usando as fórmulas acima, obtenha, recursivamente
Resposta
Sabemos que:
Assim:
Para , temos , e
Para , temos , e
Para , temos , e
Para , temos , e
Para , temos , e