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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 81

O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimento de encanamentos é distribuído exponencialmente, com um tempo médio de 15 minutos entre as chamadas.

  1. Qual é a probabilidade de não haver chamadas dentro do intervalo de 30 minutos?
  2. Qual é a probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 minutos?
  3. Qual é a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de 5 e 10 minutos depois da loja aberta?
  4. Determine o comprimento de um intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade igual a 0.90 de haver no mínimo uma chamada no intervalo.

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = 15

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

E ( X ) = 15 = 1 λ

E assim temos:

λ = 1 15

Daí, vamos calcular a letra a até c:

Passo 2

Letra a:

P ( X > 30 ) = 1 - F ( 3 ) = e - 1 / 15 × 30 = e - 2 = 0.135

Passo 3

Letra b:

P ( X < 10 ) = F ( 10 ) = 1 - e - 1 / 15 × 10 ≈ 0.49

Passo 4

Letra c:

P ( 5 < X < 10 ) = F ( 10 ) - F ( 5 ) = e - 1 / 15 × 5 - e - 1 / 15 × 10 ≈ 0.2

Passo 5

Letra d:

Vamos escrever a equação:

0.9 = P ( X < x ) = F ( x ) = 1 - e - 1 / 15 × x

E resolver para obter x :

x =   - 15 l n 0.1 = 34.5   m i n u t o s

Resposta

  1. 0.135
  2. 0.49
  3. 0.2
  4. 34.5
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