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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 89

O tempo de vida de um arranjo mecânico em um teste vibracional é distribuído exponencialmente, com uma média de 400 horas.

  1. Qual é a probabilidade de que um arranjo em teste falhe em menos de 100 horas?
  2. Qual é a probabilidade de que um arranjo opere por mais de 500 horas antes da falha?
  3. Se um arranjo estiver em teste por 400 horas sem apresentar falha, qual será a probabilidade de uma falha ocorrer nas próximas 100 horas?
  4. Se os arranjos estão sendo testados, qual é a probabilidade de que no mínimo um falhe em menos de 100 horas? Considere que os arranjos falhem independentemente.
  5. Se 10 arranjos estão sendo testados, qual é a probabilidade de que todos tenham falhado em 800 horas? Considere que os arranjos falhem independentemente.

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = 400

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

400 = E ( X ) = 1 λ

E assim temos:

λ = 1 400

Daí, vamos calcular.

Passo 2

Letra a:

P ( X < 100   h o r a s ) = F ( 100 ) = 1 - e - 1 / 400 × 100 = 1 - e - 0.25 = 0.221

Passo 3

Letra b:

P ( X > 500   h o r a s ) = 1 - F ( 500 ) = e - 1 / 400 × 500 = e - 1.25 = 0.2865

Passo 4

Letra c:

Empregando a propriedade de falta de memória:

P ( X > 500   |   X > 400 ) = P ( X < 100 ) = F ( 100 ) = 1 - e - 1 / 400 × 100 = 0.221

Passo 5

Letra d:

Assumindo a independência, temos:

P ( p e l o   m e n o s   u m a   f a l h a )   =   1 - P ( n e n h u m a   d a s   10   f a l h a m ) = 1 - P ( X > 100 ) 10 = 1 - e - 0.25 × 10 = 0.9179

Passo 6

Letra e:

Assumindo a independência, temos:

P ( t o d a s   a s   10   f a l h a m ) = P ( X < 800 ) 10 = ( 1 - e - 1 / 400 × 800 ) 10 = 0.23

Resposta

  1. 0.221
  2. 0.2865
  3. 0.221
  4. 0.9179
  5. 0.23
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