O tempo de espera, em horas, entre sucessivos motoristas flagrados por um radar que ultrapassam o limite de velocidade, é uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulada

f x = 0 ,                                         x < 0 1 - e - 8 x               x ≥ 0

Determine a probabilidade de o tempo de espera entre sucessivos motoristas ser menor que 12 minutos,

(a) usando a função de distribuição acumulada de X ;

(b) usando a função de densidade de probabilidade de X .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para resolvermos essa questão, na letra (a) temos que usar a função de distribuição acumulada, então precisamos usar a definição de limites.

Na a letra (b), para calcularmos a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Organizando as medidas, como o tempo de espera x é dado em horas, a probabilidade que queremos calcular é:

P X < 12 60 = P ( X < 0,2 )

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Usando a definição de uma função de distribuição cumulativa, temos:

P X < 0,2 = lim x → 0,2 ⁡ P ( X ≤ x )

= lim x → 0,2 ⁡ F x

= lim x → 0,2 ⁡ ( 1 - e - 8 x )

= 1 - e - 8 ( 0,2 )

P X < 0,2 = 0,7981

Passo 3

Sabemos que a função de densidade de probabilidade é a derivada da função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória.

f x = d F d x = d d x 1 - e - 8 x = 8 e - 8 x

Agora, podemos usar a fórmula do Passo 1.

P X < 0,2 = P ( X ≤ 0,2 )

A igualdade acima é válida, pois, a função é contínua.

= ∫ 0 0,2 f ( x ) d x

= ∫ 0 0,2 8 e - 8 x d x

= 8 - 1 8 e - 8 x 0 0,2

= 8 - 1 8 e - 8 0,2 + 1 8

= 1 - e - 1,6

P X < 0,2 = 0,7981

Como era o esperado, achamos a mesma probabilidade.

Resposta

P X < 0,2 = 0,7981

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