Tentativas independentes com probabilidade de sucesso p são realizadas até que um total de r sucessos seja obtido. Mostre que a probabilidade de que exatamente n tentativas são necessárias é

Use esse resultado para resolver o problema dos pontos (Exemplo 4j).

Dica: Para que n tentativas sejam necessárias para a obtenção de r sucessos, quantos sucessos devem ocorrer nas primeiras n - 1 tentativas?

Cada ordem de sucessos e fracassos é um evento, mutuamente exclusivo de eventos

definidos por outras ordens. Por causa da independência, a probabilidade de uma ordem específica de sucessos em experimentos é

Tendo é a união de alguns desses eventos. Em uma ordem (Os primeiros experimentos não contém sucessos), e os primeiros contém sucessos

É por isso que o n-ésimo experimento precisa ser um sucesso para os primeiros experimentos têm que conter experimentos com precisão. E cada tal ordem do

resultados do primeiro experimento está em .

E há pedidos que contêm sucessos nos experimentos. Como é a união dos eventos mutuamente exclusivos cujas probabilidades são , logo