Enunciado

O teorema 1.3 trata da probabilidade de que ao menos dois eventos A ou B ocorra. O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B ocorra. Verifique que:

P A ∩ B - ∪ B ∩ A - = P A + P B - 2 P A ∩ B

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos o espaço onde vamos achar esses eventos. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

P A ∪ B   = P A + P B - P A ∩ B

Com esses valores, sabemos que podemos criar um espaço amostral com todas as possibilidades entre esses números.Dessa forma, podemos escrever do seguinte jeito:

X , Y = X 1 ,   Y 1 , X 1 ,   Y 2 , … ,   X n ,   Y n

Substituindo a relação na probabilidade, temos que:

A = A - B ∪ A ∩ B

P A ∩ B - ∪ B ∩ A - = P A ∩ B - + P B ∩ A -

P A ∩ B - ∪ B ∩ A - = P A - B + P ( B - A )

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

P A ∩ B - ∪ B ∩ A - = P A - P A ∩ B + P B - P A ∩ B

P A ∩ B - ∪ B ∩ A - = P A + P B - 2 P A ∩ B

Resposta

P A ∩ B - ∪ B ∩ A - = P A + P B - 2 P A ∩ B

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