Enunciado

Teste, para o nível de 5 % , se existe correlação ou não entre o setor primário e o índice de

analfabetismo, usando a amostra do Problema 11 do Capítulo 4 . Caso a resposta seja

afirmativa, construa um IC de 95 % de confiança para ρ .

Passo 1

Queremos testar H 0 : ρ = 0 versus H 0 : ρ ≠ 0 .

Vamos calcular a estatística do teste:

T = r × n - 2 1 - r 2 ⇒ T 0 = 0,866 × 8 - 2 1 - 0,866 2 = 4,242 .

Sob H 0 , T ~ t n - 2 ⇒ T ~ t 6 .

Considerando α = 5 % , o valor crítico do teste é t c = 2,447 .

Como T 0 > t c , rejeitamos a hipótese de nulidade e concluímos que há correlação entre as variáveis.

Assim, vamos calcular o intervalo de confiança:

I C μ ξ ; 95 % = ξ 0 ± 1,96 × σ ξ

em que

ξ 0 = 1 2 l n 1 + r 1 - r = 1 2 l n 1,866 0,134 = 1 2 ln ⁡ 13,925 = 1,317

e

σ ξ = 1 n - 3 = 1 8 - 3 = 1 5 = 0,2

Assim,

I C μ ξ ; 95 % = 1,317 ± 1,96 × 0,2 = ( 0,44 ; 2,193 )

Como μ ξ = 1 2 ln ⁡ 1 + ρ 1 - ρ   e uma expressão semelhante vale para os extremos do intervalo, podemos obter as operações inversas:

0,44 = 1 2 ln ⁡ 1 + r 1 - r   ⇒ r = e 0,88 - 1 e 0,88 + 1 = 0,414  

e

2,193 = 1 2 ln ⁡ 1 + r 1 - r   ⇒ r = e 4,386 - 1 e 4,386 + 1 = 0,975  

Resposta

Há correlação entre o setor primário e o índice de analfabetismo e   I C μ ξ ; 95 % = ( 0,414 ; 0,975 ) .

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