Enunciado

Um total de “ 2 n ” cartas, das quais 2 são ases, deve ser dividido entre 2 jogadores, com cada um dos jogadores recebendo n cartas. Cada jogador deve então declarar, em sequência, se ele recebeu algum ás. Qual é a probabilidade condicional de que o segundo jogador não tenha ases, dado que o primeiro jogador declare afirmativamente que tenha algum ás, quando

(a) n = 2?

(b) n = 10?

(c) n = 100?

Para que valor converge a probabilidade quando n tende a infinito? Por quê?

Passo 1

Vamos lá pessoal, estão prontos?! Vamos para mais uma missão, devagar e sempre que vai dar certo. Uhaa

Vamos chamar de evento E i o evento em que um jogador i não recebe um ás, não é difícil calcular essa probabilidade. Vamos do princípio:

P E i = f a v p o s s i v = 2 n - 2 n 2 n n

A probabilidade pedida, chamemos de P ( A i ) , é o complementar de P E i

P A i = 1 - P E i = 1 - 2 n - 2 n 2 n n = 3 n - 1 4 n - 2

Passo 2

Numerando os ases arbitrariamente e observando que o jogador que não recebe o primeiro ás receberá “ n ” das “ 2 n   –   1 ” cartas restantes, Assim:

P A 1 A 2 = n 2 n - 1

P A 2 C \ A 1 = 1 - P A 2 A 1 = 1 - P A 1 A 2 P A 1 = n - 1 3 n - 1

Passo 3

a) Vamos calcular o valor pedido para n = 2

P A 2 C \ A 1 = 1 5

b) E para n = 10 , qual o resultado?!

P A 2 C \ A 1 = 9 29

c) para n=100, fica como?!

P A 2 C \ A 1 = 9 9 2 9 9

Passo 4

Podemos considerar o resultado da divisão de cartas como o resultado de duas tentativas, onde se diz que a tentativa i ,   i   =   1,2 , é um sucesso se o ás número i vai para o primeiro jogador. Como as posições dos dois ases se tornam independentes à medida que n tende a infinito, com cada um deles possuindo a mesma probabilidade de ser dado a qualquer jogador, tem-se que as tentativas se tornam independentes, cada uma com probabilidade de sucesso de 1 2 . Portanto, no caso limite onde n → ∞ , o problema se torna aquele de determinar a probabilidade condicional de que se obtenham duas caras, dado que pelo menos uma seja obtida, quando duas moedas são jogadas. Como n - 1 3 n - 1 converge para 1 3 .

Resposta

1 5

9 29

99 299

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