Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 28
Um total de cartas, das quais 2 são ases, deve ser dividido entre 2 jogadores, com cada um dos jogadores recebendo n cartas. Cada jogador deve então declarar, em sequência, se ele recebeu algum ás. Qual é a probabilidade condicional de que o segundo jogador não tenha ases, dado que o primeiro jogador declare afirmativamente que tenha algum ás, quando
(a) n = 2?
(b) n = 10?
(c) n = 100?
Para que valor converge a probabilidade quando tende a infinito? Por quê?
Passo 1
Vamos lá pessoal, estão prontos?! Vamos para mais uma missão, devagar e sempre que vai dar certo. Uhaa
Vamos chamar de evento o evento em que um jogador não recebe um ás, não é difícil calcular essa probabilidade. Vamos do princípio:
A probabilidade pedida, chamemos de , é o complementar de
Passo 2
Numerando os ases arbitrariamente e observando que o jogador que não recebe o primeiro ás receberá das cartas restantes, Assim:
Passo 3
a) Vamos calcular o valor pedido para
b) E para , qual o resultado?!
c) para n=100, fica como?!
Passo 4
Podemos considerar o resultado da divisão de cartas como o resultado de duas tentativas, onde se diz que a tentativa , é um sucesso se o ás número vai para o primeiro jogador. Como as posições dos dois ases se tornam independentes à medida que n tende a infinito, com cada um deles possuindo a mesma probabilidade de ser dado a qualquer jogador, tem-se que as tentativas se tornam independentes, cada uma com probabilidade de sucesso de . Portanto, no caso limite onde , o problema se torna aquele de determinar a probabilidade condicional de que se obtenham duas caras, dado que pelo menos uma seja obtida, quando duas moedas são jogadas. Como converge para .