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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 78

A e B jogam uma série de partidas. Cada partida é independentemente vencida por A com probabilidade p e por B com probabilidade 1 - p. Eles param quando o número total de vitórias de um jogador é duas vezes maior do que o número de vitórias do outro jogador. Aquele com o maior número de vitórias completas é declarado o vencedor da série.

(a) Determine a probabilidade de que um total de 4 partidas seja jogado.

(b) Determine a probabilidade de que A vença a série.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Primeiramente, vamos determinar as possibilidades de que sejam necessários 4 jogos.

1º Jogo – De início, não faz diferença se A ou B ganha.

2º Jogo – O time que perdeu o 1º jogo ganha. Se o mesmo time ganhar já abre uma vantagem de 2 vitórias e não serão necessários 4 jogos.

3º Jogo e 4º Jogo – É preciso que um dos times, A ou B, ganhe os próximos dois jogos para que consiga abrir a vantagem de 2 jogos.

Logo temos as seguintes possibilidades de vitórias nos 4 jogos: ABAAABBBBAAABABB

Considerando que os resultados dos jogos são independentes, temos que:

P e x a t a m e n t e   4   j o g o s = P A B A A + P A B B B + P B A A A + P ( B A B B )

P e x a t a m e n t e   4   j o g o s = p 3 1 - p + p 1 - p 3 + p 3 1 - p + p 1 - p 3

P e x a t a m e n t e   4   j o g o s = 2 p ( 1 - p ) ( 1 - 2 p + 2 p 2 )

Passo 2

(b) Para determinar a probabilidade do time A ganhar a série vamos considerar o seguinte:

Os dois primeiros jogos podem terminar com três resultados: A ganha (2x0), B ganha (2,0) ou empate (1x1).

Se a sequência de jogos continuar, o resultado é o mesmo, e o total de vitórias não é importante, apenas a vantagem dois pontos.

Assim, temos que ao analisar dois jogos, temos que:

A probabilidade de A ganhar dois jogos é: p²

A probabilidade de B ganhar dois jogos é: (1-p)²

A probabilidade de dar empate é: 2p(1-p)

Como a sequência “k” de jogos pode vir a ser infinita, temos que a probabilidade de A ganhar a série é dada pelo seguinte somatório.

P A   g a n h a r = ∑ k = 0,1 , 2 , …   p ² 2 p 1 - p k

Como esta é uma sequência geométrica, de razão 2p(1-p), temos que ela equivale a:

P A   g a n h a r = p 2 1 1 - 2 p 1 - p = p 2 1 - 2 p + 2 p ²

Resposta

(a) Probabilidade de 4 partidas serem jogadas = 2 p ( 1 - p ) ( 1 - 2 p + 2 p 2 )

(b) Probabilidade de que A vença a série = p 2 1 - 2 p + 2 p ²

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