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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 38

A Urna 1 contém α brancas e β   bolas pretas, enquanto a Urna 2 contém β bolas brancas e α pretas. Uma bola é extraída (de uma das urnas) e é em seguida reposta naquela urna. Se a bola extraída for branca, escolha a próxima bola da Urna 1; se a bola extraída for preta, escolha a próxima bola da Urna 2. Continue a operar dessa maneira. Dado que a primeira bola escolhida venha da Urna 1, calcule Prob(n-ésima bola escolhida seja branca) e também o limite dessa probabilidade, quando n tende a infinito.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a probabilidade desses eventos. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

α = b o l a s   b r a n c a s   d a   u r n a   1

β = b o l a s   p r e t a s   d a   u r n a   1

α = b o l a s   p r e t a s   d a   u r n a   2

β = b o l a s   b r a n c a s   d a   u r n a   2

Com esses valores, sabemos que podemos criar um espaço amostral com todas as possibilidades entre esses números.Dessa forma, podemos escrever do seguinte jeito:

X , Y = X 1 ,   Y 1 , X 1 ,   Y 2 , … ,   X n ,   Y n

P A ∪ B ∪ C   = P A + P B + P C - P A ∩ B - P A ∩ C - P B ∩ C + P A ∩ B ∩ C

P A B = P A ∩ B P B

Substituindo a relação na probabilidade, temos que:

p 1 = α α + β = 1 0 α 1 - 0 β 0 α + β 1

p 2 = α ² + β ²   α + β 2 = 2 0 α 2 - 0 β 0 + 2 2 α 2 - 2 β 2 α + β 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

p n = ∑ n k α n - k β k α + β n

Resposta

p n = ∑ n k α n - k β k α + β n

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Suponha que X e Y sejam v.a. com Var(X) = 1, Var(Y) = 2 e ρ(X, Y) = 1/2. Determine Var(X – 2Y).
Uma urna contém n bolas numeradas de 1 até n. Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição. Determine a distribuição do módulo da diferença entre os dois números observados.
Se ρ(X, Y) for o coeficiente de correlação entre X e Y, e se tivermos que Z = AX + B, W = CY + D, com A0, C0, prove que ρ(X, Y) = ρ(Z, W).
Se X~N(μ1, σ1²) e Y~N(μ2, σ2²), e se X e Y são independentes, encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. aX + bY, a e b constantes..
Sejam X e Y v.a. com E(X) = E(Y) = 0 e Var(X) = Var(Y) = 1. Prove que ρ(Z, U) = 0, se Z = X + Y e U = X – Y.