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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 37

Cada uma das n urnas: Urna 1, Urna 2, ..., Urna n, contém α brancas e β   bolas pretas. Uma bola é retirada da Urna 1 e posta na Urna 2; em seguida, uma bola é retirada da Urna 2 e posta na Urna 3, e assim por diante. Finalmente, uma bola é retirada da Urna n. Se a primeira bola transferida for branca, qual será a probabilidade de que a última bola escolhida seja branca? Que acontece, se n tende a infinito?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a probabilidade desses eventos. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

α = b o l a s   b r a n c a s

β = b o l a s   p r e t a s

Com esses valores, sabemos que podemos criar um espaço amostral com todas as possibilidades entre esses números.Dessa forma, podemos escrever do seguinte jeito:

X , Y = X 1 ,   Y 1 , X 1 ,   Y 2 , … ,   X n ,   Y n

P A ∪ B ∪ C   = P A + P B + P C - P A ∩ B - P A ∩ C - P B ∩ C + P A ∩ B ∩ C

P A B = P A ∩ B P B

Substituindo a relação na probabilidade, temos que:

p 2 = P a   s e g u n d a   b o l a   s e j a   b r a n c a   |   a   p r i m e i r a   t e n h a   s i d o   b r a n c a

p 2 = α + 1 α + β + 1

p 2 = α α + β + β α + β α + β + 1

p 3 = P t e r c e i r a   b o l a   s e j a   b r a n c a   |   a   p r i m e i r a   t e n h a   s i d o   b r a n c a

p 3 = α + 1 2 + α β α + β + 1 2

p n = α α + β + β α + β α + β + 1 n - 1

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

lim ⁡ p n = α α + β

Resposta

p n = α α + β + β α + β α + β + 1 n - 1

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