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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 25

A urna I contém duas bolas pretas e três brancas, ao passo que a urna II contém três bolas pretas e três brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela extraímos uma bola que tem cor branca. Se a bola é recolocada na urna, qual é a probabilidade de se retirar novamente uma bola branca da mesma urna?

Passo 1

Essa é a nossa urna I com: E essa é a nossa urna II com:

- Duas bolas pretas (P) e - Três bolas pretas (P) e

- Três bolas brancas (B). - Três bolas brancas (B).

Primeiro, vamos começar dando nome aos bois para nos organizarmos melhor:

U i → s e l e c i o n a - s e   a   u r n a   i ;

B i j → é   r e t i r a d a   u m a   b o l a   b r a n c a   d a   u r n a   i ,   n a   e x t r a ç ã o   j   i ,   j = 1,2 ;

E → r e t i r a - s e ,   n a   2 ª   e x t r a ç ã o ,   u m a   b o l a   b r a n c a   d a   m e s m a   u r n a   d a   1 ª   e x t r a ç ã o  

Sabemos que na urna I contém duas bolas pretas e três brancas, ao passo que a urna II contém três bolas pretas e três brancas e que a bola retirada na primeira extração é RECOLOCADA na urna, logo, estamos diante daqueles clássicos problemas com reposição. Vamos analisar essa situação para cada uma das urnas:

Urna I:

Temos um total de 5 bolas, como dessas 5, 3 são brancas, temos:

P B 11 = P B 12 = 3 5

Urna II:

Temos um total de 6 bolas, como dessas 6, 3 são brancas, temos:

P B 22 = P B 21 = 3 6

Show?

E como as urnas são escolhidas ao acaso, a probabilidade de selecionar as urnas I ou II é a mesma, portanto:

P U 1 = P U 2 = 1 2

Passo 2

Ok! Mas o problema quer saber “se a bola é recolocada na urna, qual é a probabilidade de se retirar novamente uma bola branca da mesma urna?”

Todos os meus movimentos são friamente calculados. 😉

Pensem comigo, vimos que a urna I, tem 1 2 de ser selecionada e que a probabilidade de retirar uma bola branca na primeira extração é igual a probabilidade de retirar uma bola branca na segunda extração, ou seja, P B 11 = P B 12 = 3 5 . Logo, se nos olharmos só para a urna I, temos:

P E 1 = 1 2 . 3 5 . 3 5 = 9 50

Agora, só usarmos a mesma ideia para a urna II:

P E 2 = 1 2 . 3 6 . 3 6 = 9 72

Como queremos um evento OU outro, basta somarmos:

P E = P E 1 + P E 2 = 9 50 + 9 72 = 0,305

Resposta

0,305

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