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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 44

Três prisioneiros são informados pelo vigia de que um deles foi escolhido aleatoriamente para ser executado e os outros dois serão libertados. O prisioneiro A pede ao vigia para que ele lhe conte reservadamente qual de seus companheiros de prisão será libertado, dizendo que não haveria dano em divulgar esta informação porque ele já sabe que pelo menos um dos dois será libertado. O vigia recusa-se a responder a essa questão, dizendo que se A soubesse qual de seus colegas prisioneiros seria libertado, então a probabilidade de que ele mesmo viesse a ser executado aumentaria de 1/3 para 1/2. O que você pensa do raciocínio do vigia?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Sem perda de generalidade, suponhamos que o carcereiro disse a A que B vai ser libertado, então esta é a probabilidade a ser analisada. Se for 1/3, o carcereiro está errado e se for 1/2, o carcereiro está correto. Colocando isso em termos matemáticos, nós temos

P ( A   m o r r e | B   v a i   s e r   l i b e r t a d o )

Vamos usar a fórmula de Bayes para este caso ( P X Y P Y =   P Y X P X = P X Y ) . Logo, adaptando ao contexto da questão, nós temos que

P A   m o r r e B   v a i   s e r   l i b e r t a d o = P B   v a i   s e r   l i b e r t a d o A   m o r r e P A   m o r r e P B   v a i   s e r   l i b e r t a d o

Expandindo o denominador como uma soma de probabilidades disjuntas, nós temos

P B   v a i   s e r   l i b e r t a d o A   m o r r e P A   m o r r e P B   v a i   s e r   l i b e r t a d o | A   m o r r e + P B   v a i   s e r   l i b e r t a d o B   m o r r e + P B   v a i   s e r   l i b e r t a d o C   m o r r e

Passo 2

Como os termos da probabilidade estão ficando gigantes, nós vamos substituir esses termos por letras, B vai ser libertado será substituído por W, A morre por A, B morre por B e finalmente, C morre por C. Aplicando o teorema de Bayes para este caso, nós obtemos o seguinte resultado:

P A W = P W A P A P W A P A + P W B P B + P W C P ( C )

Agora sabemos que as probabilidades incondicionais de A, B ou C morrerem são iguais e iguais a 1/3. Se A vai morrer, então A será informado de que B deve ser libertado com probabilidade 1/2. Se B vai morrer, então A será informado de que B deve ser libertado com probabilidade 0. Se C vai morrer, então A será informado de que B deve ser libertado com probabilidade 1. Com isso, já podemos substituir os valores das probabilidades do lado direito.

P A W = 1 ∙ 1 3 1 2 ∙ 1 3 + 0 ∙ 1 3 + 1 ∙ 1 3 = 1 3 1 6 + 1 3 = 1 3 3 6 = 1 3 1 2 = 1 6

Passo 3

Assim, divulgar a informação de que B deve ser liberado não altera a probabilidade de que A seja executado. A alegação do carcereiro está errada e o prisioneiro está certo

Resposta

A   a l e g a ç ã o   d o   c a r c e r e i r o   e s t á   e r r a d a   e   o   p r i s i o n e i r o   e s t á   c e r t o

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