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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 22

Usando os dados do Exercício 12.2 e a estimativa

de (T2 do Exercício 12.17, calcule o intervalo de confiança de 95% para a resposta predita e para a resposta

média quando x} = 900 e x ,= 1,00

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que um 100 ( 1 - a ) % intervalo de confiança para a resposta prevista t α / 2 é um valor da t distribuição com n - k - 1 graus de liberdade.

A quantidade x 0 ' X ' X - 1 x 0 é frequentemente chamada de erro padrão de previsão.

Passo 2

Para o problema dado que temos n = 12 e k = 2 . Após o ajuste de um modelo de regressão múltipla temos

y ˆ = - 3.37 + 0.00362 x 1 + 0.948 x 2

O valor previsto da variável resposta y quando x 1 = 900 e x 2 = 1.00 é

y ˆ   = - 3.37 + 0.00362 x 1 + 0.948 x 2   = - 3.37 + 0.00362 ( 900 ) + 0.948 ( 1.00 ) y ˆ   = 0.836

E a soma do erro do quadrado é

s 2   =  SSE  n - k - 1   = 1.48573 9 = 0.16508  or  s   = 0.4063

Passo 3

Em seguida, temos que encontrar o erro padrão da previsão que é dada da seguinte forma:Os elementos da matriz inversa é

X ' X - 1 = 2.45026 - 0.0021337 - 0.533873 - 0.00213 0.0000023 0.000000 - 0.53387 0.0000000 0.788975

Passo 4

Agora calculamos isso

x 0 ' X ' X - 1 x 0   = 1 900 1 2.45026 - 0.0021337 - 0.533873 - 0.00213 0.0000023 0.000000 - 0.53387 0.0000000 0.788975 1 900 1   = 1 900 1 0.003943 0.000006 0.255105   = 0.264448

Passo 5

O valor da tabela de distribuição t para 9 graus de liberdade ao nível de 0.05 significância no teste de duas caudas é t 0.025 = 2.262 . Portanto, um 95 % intervalo de confiança para a densidade óptica média para x 1 = 900 e x 2 = 1.00 é dado por

y ˆ 0 - t α 2 ⋅ s ⋅ x 0 ' X ' X - 1 x 0   < μ Y ∣ x 10 ⋅ x 20 ⋅ … . x k 0 < y ˆ 0 + t α 2 ⋅ s ⋅ x 0 ' X ' X - 1 x 0 0.836 - ( 2.262 ) ⋅ ( 0.4063 ) ⋅ 0.264448   < μ Y ∣ 900,1 < 0.836 + ( 2.262 ) ⋅ ( 0.4063 ) ⋅ 0.264448 0.3634   < μ Y ∣ 900,1 < 1.3086

Passo 6

Portanto, o 95 % intervalo de confiança para a densidade óptica média é

0.3634 < μ Y ] 900,1 < 1.3086

Mais uma vez, temos que construir um intervalo de confiança para uma única resposta y 0 . Um 100 ( 1 - a ) % intervalo de confiança para resposta única y 0 é μ Y ∣ x 10 , x 20 , … … … , x k 0 y ˆ 0 - t α / 2 ⋅ s ⋅ 1 + x 0 ' X ' X - 1 x 0 < y 0 < y ˆ 0 + t α / 2 ⋅ s ⋅ 1 + x 0 ' X ' X - 1 x 0 , onde t α / 2 é um valor da distribuição t com n - k - 1 graus de liberdade. Agora temos

y ˆ 0 - t α / 2 ⋅ s ⋅ 1 + x 0 ' X ' X - 1 x 0 < y 0 < y ˆ 0 + t α / 2 ⋅ s ⋅ 1 + x 0 ' X ' X - 1 x 0 0.836 - ( 2.262 ) ⋅ ( 0.4063 ) ⋅ 1.264448 < y 0 < 0.836 + ( 2.262 ) ⋅ ( 0.4063 ) ⋅ 1.264448   - 0.1975 < y 0 < 1.8695

Portanto, um 95 % intervalo de confiança para uma única resposta y 0 é - 0.1975 < y 0 < 1.8695

Resposta

Resposta nos passos.

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