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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 24

Usando os dados do Exercício 12.9 e a estimativa

de (J2do Exercício 12.19, calcule o intervalo de confiança

de 95% para a resposta predita e para a resposta média

quando xx= 75, x2= 24, = 90 e x4 = 98.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para os dados fornecidos, o valor previsto da variável de resposta y éTemperatura ambiente = x 1 = 75 ∘ F Número de dias = x 2 = 24 Pureza do produto = x 3 = 90 % Toneladas produzidas pelo produto = x 4 = 98

y ˆ   = - 103 + 0.605 x 1 + 8.92 x 2 + 1.44 x 3 + 0.014 x 4   = - 103 + 0.605 ( 75 ) + 8.92 ( 24 ) + 1.44 ( 90 ) + 0.014 ( 98 ) y ˆ   = 287.427

Passo 2

A estimativa da soma residual dos quadrados é

s 2   = S S E n - k - 1   = 1699.0098 7 = 242.7157

ou s = 15.5793

Passo 3

Em seguida , temos que encontrar o erro padrão dos preditores que é dado da seguinte forma:Os elementos of a matriz inversa é

X ' X - 1 = 178.008 - 0.04315 - 0.586379 - 1.60441 - 0.179855 - 0.043 0.0005607 - 0.005869 0.00177 - 0.000039 - 0.586 - 0.0058687 0.115755 - 0.02210 0.000792 - 1.604 0.0017672 - 0.022097 0.02357 - 0.000644 - 0.180 - 0.0000395 0.000792 - 0.00064 0.002219

Agora descobrimos que

x 0 ' X ' X - 1 x 0   = 1 75 24 90 98 178.008 - 0.0431456 - 0.586379 - 1.60441 - 0.179855 - 0.043 0.0005607 - 0.005869 0.00177 - 0.000039 - 0.586 - 0.0058687 0.115755 - 0.02210 0.000792 - 1.604 0.0017672 - 0.022097 0.02357 - 0.000644 - 0.180 - 0.0000395 0.000792 - 0.00064 0.002219 1 75 24 90 98   = 1 75 24 90 98 - 1.32403 0.01323 - 0.15952 0.05560 - 0.00436   = 0.4165

Passo 4

O valor da tabela de distribuição t para 7 graus de liberdade em um 0.05 nível de significância em testes de duas caudas é t 0.025 = 2.3646 . Portanto, um 95 % intervalo de confiança para a resposta média para os valores dados de preditores é dado por

y ˆ 0 - t α 2 ⋅ s ⋅ x 0 ' X ' X - 1 x 0 < μ Y ∣ x 1 , … , x 4 < y ˆ 0 + t α / 2 ⋅ s . ⋅ x 0 ' X ' X - 1 x 0  287.427- (2.3646).(15.5973).  0.4165 < μ Y ∣ x 1 , … . , x 4 < 287.427 +   (2.3646).(15.5973).  263.6249 < μ Y ∣ x 1 , … , x 4 < 311.2291

Passo 5

Portanto, o 95 % intervalo de confiança para a resposta média é

263.6249 < μ Y ∣ x 1 , … , x 4 < 311.2291

O 95 % intervalo de confiança para a resposta prevista é dado da seguinte forma: é μ Y ∣ x 10 , x 20 … … … x k 0 , onde y ˆ 0 - t α / 2 ⋅ s ⋅ 1 + x 0 ' X ' X - 1 x 0 < y 0 < y ˆ 0 + t α / 2 ⋅ s ⋅ 1 + x 0 ' X ' X - 1 x 0 é um valor da distribuição com t ω / 2 graus de liberdade em duas caudas. n - k - 1 Agora temos

y ˆ 0 - t α 2 ⋅ s ⋅ x 0 ' X ' X - 1 x 0 < y 0 < y ˆ 0 + t α / 2 ⋅ s ⋅ x 0 ' X ' X - 1 x 0 287.427 - ( 2.3646 ) ⋅ ( 15.5973 ) ⋅ 1.4165 < y 0 < 287.427 + ( 2.3646 ) ⋅ ( 15.5973 ) ⋅ 1.4165 243.5319 < y 0 < 331.3220

Passo 6

Portanto, um 95 % intervalo de confiança para uma única resposta y 0 é

243.5319 < y 0 < 331.3220

Resposta

Resposta nos passos.

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