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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 42

Usando os resultados do Exercício 4.21, determine a variância de g X = X 2 , onde X é uma variável aleatória com função de densidade dada no Exercício 4.12.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A função de densidade dada para a variável aleatória contínua X no Exercício 4.12 é:

f x = 2 1 - x ,                             0 < x < 1 0 ,                                     c a s o   c o n t r á r i o

E no Exercício 4.21 nós encontramos μ g ( X ) = E g X = E X 2 = 1 / 6 .

Sendo assim, para determinarmos a variância, nós utilizaremos a fórmula a seguir:

σ g ( X ) 2 = ∫ x g x - μ g X 2 f ( x ) d x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Utilizando a fórmula do Passo 1, temos:

σ g ( X ) 2 = ∫ 0 1 x 2 - 1 6 2 ∙ 2 ( 1 - x ) d x

= 2 ∫ 0 1 x 4 - 1 3 x 2 + 1 36 ( 1 - x ) d x

= 2 ∫ 0 1 x 4 - 1 3 x 2 + 1 36 - x 5 + 1 3 x 3 - 1 36 x d x

= 2 1 5 x 5 - 1 9 x 3 + 1 36 x - 1 6 x 6 + 1 12 x 4 - 1 72 x 2 0 1

= 2 1 5 - 1 9 + 1 36 - 1 6 + 1 12 - 1 72

σ g ( X ) 2 = 7 180

Resposta

σ g ( X ) 2 = 7 180

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